Gleichung lösen 0=h^3-3rh^2+2r^3

Question

Hey,

ich soll diese Gleichung nach h auflösen:

$$0=h^3-3rh^2+2r^3$$

Durch ausprobieren kam ich auf die Lösung h=r, jedoch kann ich da doch gar nichts mit Äquivalenzumformung oder pq-Formel erreichen?... Kubische Gleichungen, Polynomdivision soll wohl nicht angewandt werden, da noch nicht in der Schule behandelt worden, und auch sonst keine Methoden um höhergradige Gleichungen zu lösen. Gibt es sonst noch eine Möglichkeit, ohne raten?

LG :)

Comments

Ohne raten oder Polynomdivision, sondern mit kubischer Ergänzung und pq-Formel:
h³ - 3rh² + 2r³ = (h - r)³ - 3r²h + 3r³ = (h - r)³ - 3r²(h - r) = (h - r)·((h - r)² - 3r²) = (h - r)·(h² - 2rh - 2r²).

Answer 1

Aloha :)

Wie du bereits richtig ermittelt hast, ist \(h=r\) eine mögliche Lösung der Gleichung:$$0=h^3-3rh^2+2r^3$$Daher muss die rechte Seite der Gleichung den Linearfaktor \((h-r)\) enthalten:$$0=h^3\,\underbrace{-\,rh^2-2rh^2}_{=-3rh^2}+\underbrace{2r^2h-2r^2h}_{=0}+2r^3$$$$0=(h^3-rh^2)+(-2rh^2+2r^2h)+(-2r^2h+2r^3)$$$$0=(h\cdot\pink{h^2}-r\cdot\pink{ h^2})+(-\pink{2rh}\cdot h+\pink{2rh}\cdot r)+(-\pink{2r^2}\cdot h+\pink{2r^2}\cdot r)$$$$0=\pink{h^2}(h-r)-\pink{2rh}(h-r)-\pink{2r^2}(h-r)$$$$0=(\pink{h^2}-\pink{2rh}-\pink{2r^2})(h-r)$$

Die zweite Klammer wird \(0\) für \(h=r\). Die Nullstellen der ersten Klammer bestimmen wir mit der pq-Formel:$$h=\frac{2r}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2r}{2}\right)^2-(-2r^2)}=r\pm\sqrt{3r^2}=r\pm\sqrt3\,r=(1\pm\sqrt3)\,r$$

Es gibt also insgesamt drei Lösungen:$$h=r\quad;\quad h=(1+\sqrt3)\,r\quad;\quad h=(1-\sqrt3)\,r$$

Comments

Danke für deine Hilfe ♥

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Kurze Frage: Wie kommt man darauf, dass man 2r²h addieren muss und dann wieder subtrahieren muss ? Also warum grade diesen Term? :)

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Wir wissen ja, dass wir den Linearfaktor \((h-r)\) ausklammern können:

$$0=h^3-3rh^2+2r^3=\pink{h^2}\cdot h-3r\cdot \pink{h^2}+2r^3$$Hier kannst du zunächst \(\pink{h^2}\) ausklammern und würdest dann \((h-3r)\) bekommen, daher teilen wir den mittleren Summanden nochmal auf:$$0=\pink{h^2}\cdot h-r\cdot \pink{h^2}-2r\cdot\pink{h^2}+2r^3$$Jetzt klappt das Ausklammern vorne:$$0=\pink{h^2}\cdot(h-r)-2r\cdot\pink{h^2}+2r^3$$

Jetzt haben wir den mittleren Term \((-2r\cdot\pink{h^2})\). Da fehlt mir der Term \(2r^2h\) um \((-2rh)\) ausklammern zu können. Also addiere ich ein sogennante "nahrhafte Null", um mir diesen Term zu besorgen:

$$0=h^2(h-r)-2rh^2\,\underbrace{+\,2r^2h-2r^2h}_{\text{nahrhafte Null}}+2r^3$$$$0=h^2(h-r)+(-2rh\cdot h+2rh\cdot r)-2r^2h+2r^3$$$$0=h^2(h-r)-2rh\cdot(h-r)-2r^2h+2r^3$$

Hinten können wir noch \(2r^2\) ausklammern:$$0=h^2(h-r)-2rh(h-r)-2r^2(h-r)$$$$0=(h^2-2rh-2r^2)(h-r)$$

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Habe das mitgerechnet und das Prinzip an sich glaub verstanden, also

1) Linearfaktor durch raten bestimmen

2) Ziel ist dann für jeden Term (h-r) ausklammern zu können

3) so lange die Terme zerlegen bzw. auch mit der "nahrhaften Null" ergänzen, bis man jeweils den Linearfaktor ausklammern kann und am Ende nurnoch ein Term 2. Grades da steht damit man

4) mit dem Satz vom Nullprodukt + der pq Formel die Lösungen bestimmen kann?

Stimmt das so ? haha :) Hat das auch einen Namen? Linearfaktorzerlegung? Polynom faktorisieren? brauche einen Begriff um mir die Regeln dazu durchzulesen, sehe zum 1. mal in meinem Leben eine Gleichung 3. Grades :D Und wäre die Polynomdivision an sich leichter gewesen (die ich noch nicht kann, aber mir gleich anschaue)?

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Linearfaktorzerlegung ist tatsächlich ein gängiger Name.

Wenn du mit der beschriebenen Methode nicht gut klar kommst, kannst du alternativ auch eine Polynomdivision durchführen.

Ich habe damals die Polynomdivision in der 9-ten Klasse Gymnasium gelernt. Aber das ist 40 Jahre her... Ich weiß nicht, ob und wann die heutzutage auf dem Leerplan steht.

Answer 2

Eine etwas andere Methode, um auf die Lösung h=r zu kommen:

Unter der Voraussetzung \(r\neq 0\) dividiere man die Gleichung durch \(r^3\):

\(0=(h/r)^3-3(h/r)^2+2\). Setzen wir \(x=h/r\), so bedeutet das

\(x^3-3x^2+2=0\). Hier lässt sich \(x=1\) als Lösung leicht erraten,

und \(x=1\) bedeutet \(h=r\).

Polynom-Division oder Horner-Schema liefert

\(0=(x-1)(x^2-2x-2)\). Die Nullstellen der zweiten Klammer sind

mit der pq-Formel \(1\pm\sqrt{3}\), ...