Gleichung mit Parameter lösen x^2-3rx+2r^2=0

Question

Wie kann man diese gleichungen lösen?:  r,s sind parameter

 

a) x^2-3rx+2r^2=0      

b) 2x^2+(4s-r)x=2rs

 

 

Comments

x^2 - 3·r·x + 2·r^2 = 0

pq-Lösungsformel

x = - p/2 ± √((p/2)^2 - q) = - (- 3·r)/2 ± √(((- 3·r)/2)^2 - (2·r^2)) = 1.5·r ± 0.5·r

Answer 1

x² + (-3r)x + 2r² = 0

1.5r +- √(2.25r^2 - 2r^2)

1.5r +- √(0.25r^2)

1.5r +- 0.5r

x1 = r
x2 = 2r
 

Comments

2x² + (4s-r)x - 2rs = 0

x² + (4s-r)/2*x - rs = 0

-(4s-r)/4 +- √((4s-r)^2/16 + rs)

-(4s-r)/4 +- √(r^2/16 + r·s/2 + s^2)

-(4s-r)/4 +- √((r + 4·s)^2/16)

-(4s-r)/4 +- (r + 4·s)/4

x1 = r/2
x2 = -2s

Answer 2

a)

\(y=x^2-3rx+2r^2\)

Es gilt:

\(y=(x-x_1)(x-x_2)\)   wobei \(x_1\) wie auch \(x_2\) die Nullstellen der Parabel sind.

\(y=x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2\)

Koeffizientenvergleich:

1.)

\(x_1+x_2=3r\)

2.)

\(x_1x_2=2r^2\) →   \(x_2=\frac{2r^2}{x_1}\)  in 1.) \(x_1+\frac{2r^2}{x_1}=3r\)

\(x_1^2+2r^2=3rx_1\)

\(x_1^2-3rx_1=-2r^2\)        2.Binom:

\((x_1-1,5r)^2=-2r^2+2,25r^2=0,25r^2   |±\sqrt{~~}\) 

A)

\(x_1-1,5r=0,5r\)

\(x_1=2r\)  →  \(x_2=r\)

\(y=x^2-3rx+2r^2=(x-2r)(x-r)\) 

B)

\(x_1-1,5r=-0,5r\)

\(x_1=r\)   \(x_2=2r\)

\(y=x^2-3rx+2r^2=(x-r)(x-2r)\)

Graph A) ist identisch Graph B)

  

Comments

Wenn man durch Variablen dividiert, muss man angeben, dass \(x_1\neq 0\) bzw. \(x_2\neq 0\) gilt. Die Fälle sind dann nochmal gesondert zu prüfen. Wenn \(x_1=x_2=0\), dann handelt es sich aber um die Normalparabel und diese erhalten wir für \(r=0\).

Answer 3

$$\begin{aligned} x^2-3rx+2r^2 &= 0 \\ x^2-rx-2rx+2r^2 &=0 \\ x\cdot\left(x-r\right)-2r\cdot\left(x-r\right) &= 0 \\ \left(x-2r\right)\cdot\left(x-r\right) &= 0 \\ x=2r \;\;\lor\;\; x=r \end{aligned}$$

Comments

Bei b ginge auch die abc-Formel:

a=2, b= 4s-r, c= -2rs

(-4s+r±√(4s-r)^2-4*2(-2rs))/(2*2) =

Diese Formel scheint irgendwie auszusterben. Mit pq geht es bequemer, schneller. Die Formel ist überschaubarer und weniger fehleranfällig, so meine Meinung.

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Die pq-Formel ist eben wesentlich komfortabler, weshalb ich hier auch immer empfehle, diese zu verwenden. Die Division vorher durch 2 oder jeden anderen Leitkoeffizienten ist nämlich kein Hexenwerk, spart aber dann die etwas kompliziertere Rechnung der abc-Formel.