x^2-3x+q, parameter q??

Question

bin ganz neu in diesem Forum und habe folgende Frage: In einer Klausur kam folgende Aufgabe: f(x)=x^2-3x+q besitzt zwei reelle Nullstellen im Abstand von 7 Einheiten. Bestimmen Sie diese Nullstellen und den Parameter q. Muss man hier so lange experimentieren bis ich zwei Ergebnisse habe die einen Abstand von 7 aufweisen ? Gibt es zu dieser Aufgabe einen Mathematisch korreckten Rechenweg oder ist das nach Zufallsprinzip zu lösen ?

Answer 1

Willkommen im Forum yaoezdeb, 

 

das ist eine schöne Frage!

 

Wenn Du die pq-Formel anwendest, bekommst Du ja als Ergebnis

x_1,2 = - p/2 ± √[(p/2)² - q]

Wenn die beiden Nullstellen 7 Einheiten voneinander entfernt sind, muss die eine bei

x₁ = -p/2 + 3,5 liegen und die andere bei 

x₂ = -p/2 - 3,5

Demzufolge muss √[(p/2)² - q] = 3,5 sein. 

 

Wir setzen ein: 

f(x) = x² -3x + q = 0

x_1/2 = 1,5 ±√(2,25 - q)

√(2,25 - q) = 3,5

2,25 - q = 3,5² = 12,25

-q = 10

q = -10

 

Probe: 

f(x) = x² - 3x - 10

x_1,2 = -1,5 ±√(2,25 + 10) = -1,5 ± 3,5

x₁ = 2

x₂ = -5

passt :-)

 

Besten Gruß

Answer 2

f(x) = x² - 3x + q

pq-Formel

Die Wurzel ist der halbe Abstand

√((p/2)^2 - q) = √((3/2)^2 - q) = 3.5

Auflösen ergibt

q = -10

Die Nullstellen sind damit bei -2 und +5.

Skizze:

Answer 3

Hi,

quadratische Ergänzung wäre eine Möglichkeit das zu lösen.

f(x) = x^2-3x+q

= (x^2-2*1,5*x)      +q

= (x^2-2*1,5*x+1,5^2-1,5^2)     +q

= (x^2-1,5)^2 -1,5^2+q

= (x^2-1,5)^2   -2,25+q

Der Scheitelpunkt liegt also bei x = 1,5.

Die Nullstellen müssen nun gleichweit in je eine Richtung davon entfernt sein (in unserem Falle also 3,5, da 2*3,5 = 7):

x₁ = 1,5-3,5 = -2

x₂ = 1,5+3,5 = 5

--> f(x) = (x+2)(x-5) = x^2-3x-10

--> q = -10

 

Grüße