Differentialgleichung 3. Ordnung, Anfangswertproblem

Question

y'''-3y''+4y = 50sin(t)

Nullstellen des char. Polynoms: Lamdba_1 = 1, Lamdba_23 = 2

-> allg. Lösung: y(t) = c1e^-t + c2e^2t + t*c3e^2t

-> part. Lösung y(t) = 7sin(t)+cos(t)

sollte soweit stimmen.

Nun zur eigentlichen Frage:
Bestimmen Sie eine Lösung, die für t>0 beschränkt ist und die Anfangsbedingung y(0) = 0 erfüllt.

Wie löse ich dieses Problem? Ich muss nun die die Werte für die Konstanten c1, c2 und c3 berechnen, wie mache ich dies?

Lösung sollte sein: y(t) = -e^-t + 7sin(t) + cos(t)

Answer 1

für t>0 beschränkt

\(c_2 = 0\)

\(c_3 = 0\)

Anfangsbedingung y(0) = 0

\(7\sin(0) + \cos(0) + c_1\mathrm{e}^{-0} + c_2\mathrm{e}^{2\cdot 0} + 0\cdot c_3\mathrm{e}^{2\cdot 0} = 0\)

Comments

ahh, mir war nicht klar, was das t>0 beschränkt zu bedeuten hat, Danke!

---

Das bedeutet, wenn du den Definitionsbereich von \(y\) auf die positiven reellen Zahlen einschränkst (also auf \(t>0\)), dann soll die Funktion beschränkt sein.

---

Hi,

könntest du eventuell nochmal genauer erklären warum c2 und c3 gleich 0 sind?

Warum beispielsweise nicht c1?

Vielen Dank vorab!