Ich bezeichne mal allgemein die Trefferwahrscheinlichkeit des 1. Schützen mit p und die des 2. Schützen mit q.
P(1. Schütze trifft) = p + (1 - p)·(1 - q)·p + (1 - p)·(1 - q)·(1 - p)·(1 - q)·p
= p^3·q^2 - 2·p^3·q + p^3 - 2·p^2·q^2 + 5·p^2·q - 3·p^2 + p·q^2 - 3·p·q + 3·p
P(2. Schütze trifft) = (1 - p)·q + (1 - p)·(1 - q)·(1 - p)·q + (1 - p)·(1 - q)·(1 - p)·(1 - q)·(1 - p)·q
= - p^3·q^3 + 2·p^3·q^2 - p^3·q + 3·p^2·q^3 - 7·p^2·q^2 + 4·p^2·q - 3·p·q^3 + 8·p·q^2 - 6·p·q + q^3 - 3·q^2 + 3·q
Fair ist das Spiel, wenn gilt P(1. Schütze trifft) = P(2. Schütze trifft) bzw.
p^3·q^3 - p^3·q^2 - p^3·q + p^3 - 3·p^2·q^3 + 5·p^2·q^2 + p^2·q - 3·p^2 + 3·p·q^3 - 7·p·q^2 + 3·p·q + 3·p - q^3 + 3·q^2 - 3·q = 0
a) Der schwächere Schütze hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 2∶3.
Wie groß muss die Trefferwahrscheinlichkeit p des zweiten Schützen, damit das Duell fair ist?
Zunächst mal sollte man diskutieren, was eine Trefferwahrscheinlichkeit für den Schwächeren von 2:3 bedeutet. Ich interpretiere es so das der schwächere Schütze von 3 Schüssen 2 trifft. Also ganz normal p = 2/3
Dann kann das Spiel aber nicht mehr fair werden. Nimmt man an der schwächere hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 1/2 dann ist das Spiel fair, wenn der stärkere jeden Schuss trifft. Dann würde nämlich sowohl der schwächere als auch der stärkere in genau 50% der Spiele den ersten Treffer landen.
Gleichzeitig ist hiermit auch schon Frage c) beantwortet.
b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit getroffen zu werden falls beide Schützen eine Trefferwahrscheinlichkeit von 2∶3 haben?
Wir berechnen das mit dem Gegenereignis
P(Ein Schuss trifft) = 1 - P(Kein Schuss trifft) = 1 - (1/3)^6 = 728/729 = 0.9986282578
Wir können das auch für die Schützen getrennt nach obigen Formeln bestimmen
P(1. Schütze trifft) = 2/3 + (1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(2/3) + (1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(2/3) = 182/243
P(2. Schütze trifft) = (1 - 2/3)·(2/3) + (1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(2/3) + (1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(2/3) = 182/729 = 0.2496570644