Zwei Adelige u. Duell

Question

Aufgabe:

Zwei Adelige vereinbaren ein Duell. Der schwächere Schütze darf den ersten Schuss täti¬gen. Wenn er nicht trifft, so darf der zweite Adelige schießen. Sie schießen abwechselnd so lange bis einer getroffen wurde oder jeder der beiden seine drei Schuss vergeben hat.

a) Der schwächere Schütze hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 2∶3.
Wie groß muss die Trefferwahrscheinlichkeit p des zweiten Schützen, damit das Duell fair ist?
Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit getroffen zu werden.

b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit getroffen zu werden falls beide Schützen eine Trefferwahrscheinlichkeit von 2∶3 haben?

Der schwächere Schütze hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 50%.
Wie groß muss die Trefferwahrscheinlichkeit p des zweiten Schützen, damit das Duell fair ist?

Berechne für die Konstellationen in Teilaufgabe b) die Wahrscheinlichkeit getroffen zu werden.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir folgendes aufgeschrieben:

Trefferwahrscheinlichkeit 2 : 3

Schwächere = 0,4

Stärkere = 0,6

aber habe so nicht ganz verstanden was man mit "fair" meint oder wie man das getroffen werden ausrechnet!!

Comments

Das Duell ist dann "fair", wenn beide Duellanten die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, ehrenvoll abgemurkst zu werden.

Das Baumdiagramm mit dem ersten Schützen (E) und zweiten Schützen (Z) sieht etwa so aus:

Answer 1

Ich bezeichne mal allgemein die Trefferwahrscheinlichkeit des 1. Schützen mit p und die des 2. Schützen mit q.

P(1. Schütze trifft) = p + (1 - p)·(1 - q)·p + (1 - p)·(1 - q)·(1 - p)·(1 - q)·p

= p^3·q^2 - 2·p^3·q + p^3 - 2·p^2·q^2 + 5·p^2·q - 3·p^2 + p·q^2 - 3·p·q + 3·p

P(2. Schütze trifft) = (1 - p)·q + (1 - p)·(1 - q)·(1 - p)·q + (1 - p)·(1 - q)·(1 - p)·(1 - q)·(1 - p)·q

= - p^3·q^3 + 2·p^3·q^2 - p^3·q + 3·p^2·q^3 - 7·p^2·q^2 + 4·p^2·q - 3·p·q^3 + 8·p·q^2 - 6·p·q + q^3 - 3·q^2 + 3·q

Fair ist das Spiel, wenn gilt P(1. Schütze trifft) = P(2. Schütze trifft) bzw.

p^3·q^3 - p^3·q^2 - p^3·q + p^3 - 3·p^2·q^3 + 5·p^2·q^2 + p^2·q - 3·p^2 + 3·p·q^3 - 7·p·q^2 + 3·p·q + 3·p - q^3 + 3·q^2 - 3·q = 0

a) Der schwächere Schütze hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 2∶3.
Wie groß muss die Trefferwahrscheinlichkeit p des zweiten Schützen, damit das Duell fair ist?

Zunächst mal sollte man diskutieren, was eine Trefferwahrscheinlichkeit für den Schwächeren von 2:3 bedeutet. Ich interpretiere es so das der schwächere Schütze von 3 Schüssen 2 trifft. Also ganz normal p = 2/3

Dann kann das Spiel aber nicht mehr fair werden. Nimmt man an der schwächere hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 1/2 dann ist das Spiel fair, wenn der stärkere jeden Schuss trifft. Dann würde nämlich sowohl der schwächere als auch der stärkere in genau 50% der Spiele den ersten Treffer landen.

Gleichzeitig ist hiermit auch schon Frage c) beantwortet.

b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit getroffen zu werden falls beide Schützen eine Trefferwahrscheinlichkeit von 2∶3 haben?

Wir berechnen das mit dem Gegenereignis

P(Ein Schuss trifft) = 1 - P(Kein Schuss trifft) = 1 - (1/3)^6 =  728/729 = 0.9986282578

Wir können das auch für die Schützen getrennt nach obigen Formeln bestimmen

P(1. Schütze trifft) = 2/3 + (1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(2/3) + (1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(2/3) = 182/243

P(2. Schütze trifft) = (1 - 2/3)·(2/3) + (1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(2/3) + (1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(1 - 2/3)·(2/3) = 182/729 = 0.2496570644