Integration durch Substitution e funktion

Question

Aufgabe:Integration durch Substitution…

$$ \int \limits_{a}^{b} e^{\sqrt{x}} dx $$

Wie geht man da vor ?

Answer 1

Aloha :)

Substitution hilft dir hier nicht wirklich weiter. Verwende stattdessen partielle Integration:$$\int e^{\sqrt x}\,dx=\int\underbrace{\frac{1}{2\sqrt x}\cdot e^{\sqrt x}}_{u'}\cdot\underbrace{2\sqrt x}_{v}\,dx=\underbrace{e^{\sqrt x}}_{u}\cdot\underbrace{2\sqrt x}_{v}-\int\underbrace{e^{\sqrt x}}_{u}\cdot\underbrace{\frac{1}{\sqrt x}}_{v'}\,dx$$$$\phantom{\int e^{\sqrt x}\,dx}=e^{\sqrt x}\cdot2\sqrt x-2e^{\sqrt x}+\text{const}=2e^{\sqrt x}(\sqrt x-1)+\text{const}$$Jetzt braucht du nur noch die Grenzen in die Stammfunktion einzustzen.

Comments

Und wieso soll hier Subst. nicht weiterhelfen? Das führt auf ein Standardbsp der part Integration. Und man muss sich nicht mit Wurzeln rumschlagen.

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Mit der Kettenregel folgt \(\left(e^{\sqrt x}\right)'=e^{\sqrt x}\cdot\frac{1}{2\sqrt x}\).

Daher brauchst du keine Substitution und kannst direkt partiell integrieren.

Man kann natürlich auch Substitution verwenden, wenn man diesen Zusammenhang nicht direkt sieht, aber dann braucht man immer noch partielle Integration. Daher meinte ich, dass Substitution nicht wirklich weiterhilft.

Answer 2

Hi,

mach erst eine Substitution des Exponenten. Dann musst Du partielle Integration durchführen.

Reichen die Tipps schon?

Grüße

Comments

Also ich substituiere das x als t^2 ?

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Genau. Bzw \( t = \sqrt{x} \) dann musst nichts umrechnen oder Vorzeichen wegargumentieren.