Aufgabenstellung: Integral-Differentialgleichung lösen:
\( \dot{y}(t)+3 \int \limits_{0}^{t} y(t-\tau) \cosh (2 \tau) d \tau=0, \quad y(0)=1 . \)
Mein Ansatz:
\( s Y(s)-y(0)+3 \frac{s}{s^{2}-2^{2}} Y(s)=0 \)
\( s Y(s)+\frac{3 s}{s^{2}-4} Y(s)=1 \)
\( Y(s)\left(s+\frac{35}{s^{2}-4}\right)=1 \)
\( Y(s)=\frac{1}{s+\frac{3 s}{s^{2}-4}}=\frac{1}{\frac{s\left(s^{2}-4\right)+3 s}{s^{2}-4}}=\frac{s^{2}-4}{s\left(s^{2}-4\right)+3 s^{2}}=\frac{s^{2}-4}{s^{3}-4 s+3 s}=\frac{s^{2}-4}{s^{3}-s}=\frac{s^{2}-4}{s\left(s^{2}-1\right)} \)
und jetzt das Problem:
laut meiner Partialbruchzerlegung kommt das raus: (wolframalpha bestätigt dies)
\( \begin{aligned} \text {} & \frac{s^{2}-4}{s(s+1)(s-1)}=\frac{4}{s}-\frac{3}{2} \frac{1}{s-1}-\frac{3}{2} \frac{1}{s+1} \\ \Rightarrow \quad y(t) &=4-\frac{3}{2} e^{-s}-\frac{3}{2} e^{s} \end{aligned} \)
mit y(t) ist zurück in Zeitbereich transformiert mit Laplace.
Die Lösung der Aufgabe sagt aber das: Wo ist mein Fehler?
\( \begin{aligned} y(s)=\frac{s^{2}-4}{s\left(s^{2}-1\right)} &=\frac{s}{s^{2}-1}-4 \frac{1}{s} \frac{1}{s^{2}-1} \\ y(t) &=\cosh (t)-4 \int \limits_{0}^{t} \sinh (\tau{}) d \tau{} \\ &=\cosh (t)-4(\cosh (t)-1) \end{aligned} \)
