Reflexiv Transitive Hülle von R = {(a,b) Element N x N | a*b = 8}

Question

Aufgabe:

Geben Sie alle Paare in der reflexiv-transitiven Hülle von R an.

R = {(a,b) Element N x N | a*b = 8}

Problem/Ansatz:

Hallo, ich bin mir noch nicht ganz sicher, wie ich eine reflexiv-transitiven Hülle aus R erstelle.

Zuerst gehe ich davon aus, dass wegen a*b = 8 für R = {(1,8),(8,1),(2,4),(4,2)} herauskommt.

Wenn ich die transitive Hülle erstelle, dann erhalte ich meiner Meinung nach {(1,8),(8,1),(2,4),(4,2), (1,1),(8,8),(2,2),(4,4)}

Nun weiß ich jedoch nicht, ob das so richtig ist und wie ich daraus die reflexiv-transitive Hülle erstellen soll. Jene wird doch mit der Identität von der Relation vereinigt also müsste ich doch noch (3,3),(5,5),(6,6),(7,7) hinzufügen oder?

Und würde dann als Endergebnis der reflexiv-transitive Hülle:

{(1,8),(8,1),(2,4),(4,2), (1,1),(8,8),(2,2),(4,4), (3,3),(5,5),(6,6),(7,7)} erhalten?

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.

Answer 1

R = {(a,b) Element N x N | a*b = 8}

Was ist N?

Über welcher Grundmenge ist die Relation R definiert?

R = {(1,8),(8,1),(2,4),(4,2)}

Wenn {1,2,4,8} ⊆ N ist, dann hast du recht.

Wenn {1,2,4,8} \(\nsubseteq\) N ist, dann hast du nicht recht.

Wenn ich die transitive Hülle erstelle, dann erhalte ich meiner Meinung nach {(1,8),(8,1),(2,4),(4,2), (1,1),(8,8),(2,2),(4,4)}

Das ist richtig.

also müsste ich doch noch (3,3),(5,5),(6,6),(7,7) hinzufügen oder?

Das hängt davon ab, über welcher Grundmenge die Relation R definiert ist.

Ist R über der Grundmenge {1,2,3,4,5,6,7,8} definiert, dann hasdt du recht.

Wenn wenn R über der Menge {1,2,4,8} definiert ist, dann ist die transitive Hülle schon reflexiv.

Comments

Vielen Dank Oswald für Ihre/deine schnelle Hilfe.

Die Grundmenge (N) ist über den "Natürlichen Zahlenraum" definiert {1,2,3,4,5,6,7....n}. Das hätte ich explizit hinschreiben müssen.

Somit sollte auch {1,2,4,8} ⊆ N folgen.

Weil die Grundmenge in dem Zahlenraum der natürlichen Zahlen liegt, muss ich nach Ihrer/deiner Aussage nach: (3,3),(5,5),(6,6),(7,7) hinzufügen, um die reflexiv-transitive Hülle zu erhalten.

Demnach ist die reflexiv-transitive Hülle:
{(1,8),(8,1),(2,4),(4,2), (1,1),(8,8),(2,2),(4,4), (3,3),(5,5),(6,6),(7,7)}

jetzt habe ich es hoffentlich verstanden.

Vielen Dank

Text erkannt:

(a) \( R_{1}=\{(a, b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid a \cdot b=8\} \)
Geben Sie alle Paare in der reflexiv-transitiven Hülle von \( R_{1} \) an.

---

Die Grundmenge (N) ist über den "Natürlichen Zahlenraum" definiert {1,2,3,4,5,6,7....n}.

Ich vermute du meinst dass die Grundmenge die Menge der natürlichen Zahlen ist.

Dann ist jedes \((n,n)\) mit \(n \in \mathbb{N}\) ein Element der reflexiven Hülle.