Vektorprojektion auf eine Ebene

Question

Frage:

Ich habe 4 Punkte eines Parallelogramms gegeben und muss sowohl den Flächenvektor aufstellen als auch die Fläche des Parallelogramms ermitteln, soweit ist alles klar. Im Anschluss soll ich den Flächenvektor und den Flächeninhalt der Projektion des durch die Punkte gegebenen Parallelogramms auf die von 2 Vektoren aufgespannte Ebene berechnen.

Wie man die Punkte auf die Ebene projiziert ist mir klar, dann kann ich wieder den Flächenvektor aufstellen und so den Flächeninhalt berechnen, aber gibt es da auch eine einfachere Möglichkeit, kann man auch den Flächenvektor projizieren und sich die viele Schreibarbeit sparen? Und wenn ja, wie stelle ich das an?

Danke

Comments

was ist ein flächenvektor?

welche projektion?

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"Einer ebenen Fläche kann ein Flächenvektor zugeordnet werden. Der Flächenvektor steht senkrecht auf der Fläche. Seine Länge ist durch den Flächeninhalt gegeben. Die Fläche kann beliebig geformt sein.

Bei offenen Flächen ist die Richtung des Flächenvektors unbestimmt: Er kann nach oben oder unten zeigen. Bei geschlossenen Flächen zeigt der Flächenvektor stets nach außen.
Flächenvektoren sind in der Physik vor allem zur Berechnung von Flüssen wichtig, wie zum Beispiel bei der Anwendung des Satzes von Gauß. "

Bin mir nicht sicher, ob das eine richtige Formulierung ist, aber ich würde sagen eine Anwendung des Normalvektors.

Answer 1

ok, also der normalenvektor der fläche

zur projektion hast du noch nix gesagt, z.b.

https://www.geogebra.org/m/xwj3hnda

matrizen zur projektionsbeschreibung (zentral, parallel), ist dir damit gedient?

flächenvektor abbilden und länge berechnen

oder soll das konstruktiv bearbeitet werden?

Comments

Damit ist mir nicht wirklich geholfen. Ich weiß auch nicht so recht was ich zu Projektion sagen soll, hier mal die Aufgabenstellung:

Parallelogramm: A(1/-2/1);B(1/2/3);C(-1/2/2);D(-1/-2/0)

a) bestimme den Flächenvektor und den Flächeninhalt des Parallelogramms

b) bestimme den Flächenvektor und den Flächeninhalt der Projektion des Parallelogramms auf die Ebene, die von den Vektoren v(-1/1/1) und u(-1/1/0) aufgespannt wird.

Punkt a) ist mir klar. Ich kann für b) auch die einzelnen Punkte auf die Fläche projizieren und dann den Flächenvektor aufstellen.

Meine Frage von oben ist aber, ob es auch eine Möglichkeit gibt mir das Projizieren der einzelnen Punkte zu sparen und gleichen den Flächenvektor von Aufgabe a) so zu projizieren, sodass seine Länge den Flächeninhalt der Projektion wiedergibt.

Ich hoffe, die Frage ist jetzt verständlicher.

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Ah, ja....

Das kommt auf die Projektion an, im allgemeinen nicht...

So wie es aussieht ist eine Orthogonale Projektion gemeint?

Dann wäre die Projektion

\(P \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{2}&\frac{-1}{2}&0\\\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}&0\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

F:(B-A)⊗(C-A)

{|F|,|P F|, |(P (B - A)) ⊗ (P (C - A))|}

\( \left\{ 4 \; \sqrt{6}, 8, 4 \; \sqrt{2} \right\} \)

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Hm, ich hab überlegt,

der zur Projektionsebene E (mit Normalenvektor n) senkrechte Anteil vom ABCD-Flächennormalenvektor (oben F) könnte der Fläche der Projektion entsprechen, also betrachte

\(F_{||}n \, :=  \, \left|\frac{F \; n}{n \; n} \; n\right|\)

\(F_{||}n \, :=  \, 4 \; \sqrt{2}\)

kommt hin...