Aloha :)
Wir sollen den Fluss des Vektorfeldes$$\vec F=\begin{pmatrix}x\\y\\(x^2+y^2)z\end{pmatrix}$$durch einen Zylinder mit Radius \(R\) und Höhe \(h\) um die \(z\)-Achse herum bestimmen. Der Boden des Zylinders stehe dabei auf der \(xy\)-Ebene.
zu 1) Direkte Berechnung über das Flussintegral
Wir teilen die Oberfläche des Zylinders in 3 Flächen auf. Die kreisrunde Bodenfläche \(B\), die kreisrunde Deckelfläche \(D\) und die zylindrische Mantelfläche \(M\). Zur Berechnung der Integrale brauchen wir jeweils einen Ortsvektor \(\vec r\), der die Teilfläche vollständig abtastet sowie einen nach außen gerichteten Flächenvektor \(d\vec f\) der Teilfläche. Dazu bieten sich Zylinderkoordinaten an:$$\vec r_M=\begin{pmatrix}R\cos\varphi\\R\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad z\in[0;h]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad d\vec f_M=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\,R\,d\varphi\,dz$$$$\vec r_D=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\h\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;R]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad d\vec f_D=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\,r\,dr\,d\varphi$$$$\vec r_B=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;R]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad d\vec f_B=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}\,r\,dr\,d\varphi$$
Damit bestimmen wir die einzelnen Flüsse:$$\phi_M=\int\limits_{z=0}^h\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}R\cos\varphi\\R\sin\varphi\\R^2z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\,R\,d\varphi\,dz=\int\limits_{z=0}^h\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}R^2\,d\varphi\,dz=2\pi R^2h$$$$\phi_D=\int\limits_{r=0}^R\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\r^2h\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^R\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}r^3h\,dr\,d\varphi=\frac{R^4}{4}\,h\,2\pi=\frac\pi2R^4h$$$$\phi_B=\int\limits_{r=0}^R\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}\,r\,dr\,d\varphi=0$$
Der gesamte Fluss des Vektorfeldes \(\vec F\) durch den Zylinder ist daher:$$\phi=\phi_M+\phi_D+\phi_B=2\pi R^2h+\frac{\pi}{2}R^4h+0=2\pi R^2h\left(1+\frac{R^2}{4}\right)$$
zu 2) Berechnung mittels des Gauß'schen Satzes:
Wir integrieren nun nicht mehr über die Oberfläche, sondern über das Volumen des Zylinders. Der abtastende Ortsvektor lautet nun:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;R]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[0;h]\quad;\quad dV=r\,dr\,d\varphi\,dz$$
Das Integral wird aber nicht über \(\vec{F}\) bestimmt, sondern über \(\operatorname{div}\vec F\):$$\vec\nabla\,\vec F=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}=1+1+(x^2+y^2)=2+(x^2+y^2)=2+r^2$$
Wir formulieren das Flussintegral:$$\phi=\oint\limits_{\partial\text{Zylinder}}\!\!\!\vec F\,d\vec f=\int\limits_{\text{Zylinder}}\!\!\!(\vec\nabla\vec F)\,dV=\int\limits_{r=0}^R\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^{h}(2+r^2)\,r\,dr\,d\varphi\,dz=2\pi R^2h\left(1+\frac{R^2}{4}\right)$$
