Lösung einer Vektorrechnung

Question

Aufgabe:

Addiere zwei Vektoren gleichen Betrags. Der daraus entstehende Vektor soll um 40% Prozent kürzer sein als der/die Ursprungsvektoren

Problem/Ansatz:

Ich habe einen Vektor V1 gebildet mit den Komponenten V1x=a und V1y=0

der zweite Vektor gleicher Länge aber unbekannten Winkels V2 hat die Komponenten V2x=a*cos(alpha) und V2y=a*sin(alpha)

damit habe ich die folgende Gleichung geformt:

\( \sqrt{(a+a*cos(alpha))² +(a*sin(alpha))²} \)=a*0.6

Wie löse ich das jetzt? Oder liege ich irgendwie falsch?

Comments

Mein Vorschlag: \(v_1=\begin{pmatrix}3\\\sqrt{91}\end{pmatrix}\) und \(v_2=\begin{pmatrix}3\\-\sqrt{91}\end{pmatrix}\). Dann ist \({\lVert v_1\rVert}_2={\lVert v_2\rVert}_2=10\) und \({\lVert v_1+v_2\rVert}_2=6\).

Answer 1

Seien \(u,v\) die beiden Vektoren. Dann soll gelten

\(0,6=\frac{\|u+v\|}{\|u\|}\). Damit ergibt sich für den

Winkel \(\alpha\) zwischen \(u\) und \(v\):

\(\alpha=\pm 2\arccos(0,6)\).

Answer 2

eine Wurzelbehandlung

((u+v)^2) = 0.6^2 a^2

\(2 \; a^{2} \; \operatorname{cos} \left( \alpha \right) + 2 \; a^{2} = \frac{9}{25} \; a^{2}\)

\(\operatorname{cos} \left( \alpha \right) = \frac{-41}{50}\)

\(\alpha= \left\{ \frac{-1}{2} \; \pi - \operatorname{sin⁻^1} \left( \frac{41}{50} \right), \frac{1}{2} \; \pi + \operatorname{sin⁻^1} \left( \frac{41}{50} \right) \right\} \)