Aloha :)
Wenn du die Koordinaten des Punktes \(A(3|0|1)\) in einen Vektor schreibst:$$\vec a=\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}$$erhältst du den Vektor \(\vec a\), der vom Ursprung des Koordinatensystems zum Punkt \(A\) führt. Solche Vektoren, die am Ursprung befestigt sind, heißen Ortsvektoren.
Für den Punkt \(A'(3|6|3)\) erhältst du als Ortsvektor$$\vec a\,'=\begin{pmatrix}3\\6\\3\end{pmatrix}$$
Deine Idee, den Verbindungsvektor von \(A\) zu \(A'\) zu halbieren, um zum Mittelpunkt \(P\) der Verbindungsstrecke zu kommen ist völlig richtig. Aber dieser Verbindungsvektor startet ja am Punkt \(A\) und nicht am Ursprung. Du berechnest also den Vektor von \(A\) zu \(P\):$$\overrightarrow{AP}=\frac12\cdot\overrightarrow{AA'}$$
Den Vektor \(\overrightarrow{AA'}\) erhältst du, indem du vom Punkt \(A\) zuerst zurück zum Ursprung gehst, also den Ortsvektor \(\vec a\) in entgegengesetzter Richtung \((-\vec a)\) langläufst. Danach gehst du vom Ursprung zum Punkt \(A'\) den Ortsvektor \(\vec a\,'\) entlang. Daher ist$$\overrightarrow{AP}=\frac12\cdot\left(-\vec a+\vec a\,'\right)=\frac12\cdot\left(\vec a\,'-\vec a\right)$$
Nun ist aber der Vektor \(\overrightarrow{AP}\) am Punkt \(A\) befestigt. Den Ortsvektor \(\vec p\) zum Punkt \(P\) erhältst du, wenn erst vom Ursprung zum Punkt \(A\) den Ortsvektor \(\vec a\) entlang läufst und von da aus dann den Vektor \(\overrightarrow{AP}\) zum Punkt \(P\) zurücklegst:$$\vec p=\vec a+\overrightarrow{AP}=\vec a+\frac12\cdot\left(\vec a\,'-\vec a\right)=\frac12\cdot\left(\vec a\,'+\vec a\right)$$
