Verbindungsvektor oder addieren? Vektorrechnung

Question

Aufgabe:

Hallo ich habe ein Problem. Ich verstehe nicht wann ich zwei Vektoren addieren soll und wann ich den Verbindungsvektor bilden sollte.

Ein Beispiel an dieser Aufgabe:

Der Punkt A(3, 0, 1) wird an dem Punkt P gespielt. A’(3, 6, 3) ist der Spiegelpunkt von A. Wie lautet der Punkt von P?

Mein Ansatz wäre eigentlich gewesen, den Verbindungsvektor von AA’ zu bilden und den dann zu halbieren also: 1/2*(A’-A)

Jedoch ist das anscheinend falsch und man hätte eigentlich den Ortsvektor von A und A’ miteinander addieren und dann halbieren sollen also: 1/2*(A+A’)

Eigentlich ergeben beide Ansätze für mich Sinn aber ich verstehe nicht wieso der erste Weg nicht funktioniert, weswegen ich nicht weiß in welchen Kontexten ich lieber die Addition oder den Verbindungsvektor nehmen soll.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die Koordinaten des Punktes $A(3|0|1)$ in einen Vektor schreibst:$$\vec a=\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}$$erhältst du den Vektor $\vec a$, der vom Ursprung des Koordinatensystems zum Punkt $A$ führt. Solche Vektoren, die am Ursprung befestigt sind, heißen Ortsvektoren.

Für den Punkt $A'(3|6|3)$ erhältst du als Ortsvektor$$\vec a\,'=\begin{pmatrix}3\\6\\3\end{pmatrix}$$

Deine Idee, den Verbindungsvektor von $A$ zu $A'$ zu halbieren, um zum Mittelpunkt $P$ der Verbindungsstrecke zu kommen ist völlig richtig. Aber dieser Verbindungsvektor startet ja am Punkt $A$ und nicht am Ursprung. Du berechnest also den Vektor von $A$ zu $P$:$$\overrightarrow{AP}=\frac12\cdot\overrightarrow{AA'}$$

Den Vektor $\overrightarrow{AA'}$ erhältst du, indem du vom Punkt $A$ zuerst zurück zum Ursprung gehst, also den Ortsvektor $\vec a$ in entgegengesetzter Richtung $(-\vec a)$ langläufst. Danach gehst du vom Ursprung zum Punkt $A'$ den Ortsvektor $\vec a\,'$ entlang. Daher ist$$\overrightarrow{AP}=\frac12\cdot\left(-\vec a+\vec a\,'\right)=\frac12\cdot\left(\vec a\,'-\vec a\right)$$

Nun ist aber der Vektor $\overrightarrow{AP}$ am Punkt $A$ befestigt. Den Ortsvektor $\vec p$ zum Punkt $P$ erhältst du, wenn erst vom Ursprung zum Punkt $A$ den Ortsvektor $\vec a$ entlang läufst und von da aus dann den Vektor $\overrightarrow{AP}$ zum Punkt $P$ zurücklegst:$$\vec p=\vec a+\overrightarrow{AP}=\vec a+\frac12\cdot\left(\vec a\,'-\vec a\right)=\frac12\cdot\left(\vec a\,'+\vec a\right)$$

Comments

Vielen Dank für die Antwort ich habe es jetzt verstanden!

Answer 2

Eine Skizze klärt das sofort: du hast den Vektor $\overrightarrow{AP}$ berechnet, gesucht ist aber der Vektor $\overrightarrow{0P}$ (denn der enthält die Koordinaten von $P$).