Nach welcher Zeit t (in Jahren) haben beide die gleiche Anzahl Leser?

Question

Aufgabe:

Derzeit hat die Daily Mail doppelt so viele Leser wie die Evening News. Allerdings nimmt die Zahl der Leser der Daily Mail jedes Jahr um 10 % ab, während die Zahl der Leser der Evening News jedes Jahr um 5 % steigt.

Nach welcher Zeit t (in Jahren) haben beide die gleiche Anzahl Leser?

Answer 1

Löse die Gleichung   \(2 \cdot \ell \cdot 0,9^t = 1 \cdot \ell \cdot 1,05^t \)

wobei \( \ell \) der Anzahl Leser der Evening News zum aktuellen Zeitpunkt entspricht.

Comments

Vielen Dank!

Ich habe nun als Antwort: t = log_1,05/0,9(2). Die Antwort ist aber unter t = \( \frac{1}{log_2(1,05)-log_2(0,9)} \) . Die absoluten Werte sind zwar identisch, aber wie komme ich von meinem Ergebnis auf das vorgegebene? Ich denke mal, ich muss einen Basiswechsel vornehmen?

Edit: Ja musste ich! Habe jetzt die Antwort unter der korrekten Form :D

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Ich verstehe " log_1,05/0,9(2) " nicht.

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"Log mit der Basis 1,05/0,9 und Argument 2"

Danke dir!

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Ich verstehe, wie Du auf Deine erste Lösung kommst. Die Basis des Logarithmus ist etwas "unhandlich".

Die Logarithmengesetze sagen:

\(\displaystyle \log _{b} r=\frac{\log _{a} r}{\log _{a} b} \)

und

\(\displaystyle \log _{a}\left(\frac{u}{v}\right)=\log _{a} u-\log _{a} v \)

Das bedeutet bei dieser Aufgabe:

\(\displaystyle log_{1,05/0,9}(2)= \frac{log_{2}(2)}{log_{2}(1,05 / 0,9)}=\frac{1}{log_{2}(1,05) - log_{2}(0,9)} \)

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Genau, vielen lieben Dank!

Answer 2

Derzeit hat die Daily Mail doppelt so viele Leser wie die Evening News. Allerdings nimmt die Zahl der Leser der Daily Mail jedes Jahr um 10 % ab, während die Zahl der Leser der Evening News jedes Jahr um 5 % steigt.

Nach welcher Zeit t (in Jahren) haben beide die gleiche Anzahl Leser?

d = Anfangswert Daily Mail Leser
e = Anfangswert evening news Leser

d = e * 2
e = d / 2
t = Zeit in Jahren

d ( t ) = d * 0.9^t
e ( t ) = e * 1.05^t
e ( t ) = (d / 2 ) * 1.05^t

Gleichstand bei
d * 0.9^t = (d / 2 ) * 1.05^t
0.9^t = 1 / 2  * 1.05^t
0.9^t / 1.05^t = 1/2
( 0.9 / 1.05 ) ^t = 1/2  | ln
t * ln(0.9/105) = ln(1/2)
t = ln(1/2 ) / ln(0,9/1.05)
t ≈ 4.5 Jahre