Bestimmen Sie a und k so, dass der Graph der allgemeinen Potenzfunktion f mit f(x) = a·xk durch die Punkte P und Q geht

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie a und k so, dass der Graph der allgemeinen Potenzfunktion f mit f(x) = a·x^k durch die Punkte P und Q geht:

a) P (9/0,3) ; Q(36/0,6)

Nun habe ich die Punkte jeweils in die Formel eingesetzt also:

I. 0,3 = a*9^k

II. 0,6 = a*36^k

Nun komme ich aber nicht weiter. Ich habe ja zwei Unbekannte und zudem eine Unbekannte im Exponenten. Wie löse ich so eine Aufgabe nun?

Answer 1

I. 0,3 = a*9^k

II. 0,6 = a*36^k

Teile die 2. Gleichung durch die erste:

2 = 36^k / 9^k = 4^k = 2^{2k} 

Also

2^1 = 2^{2k}       |Exponentenvergleich

1 = 2k

1/2 = k

in I.

0.3 = a*9^{1/2} = a*3        |:3

0.1 = a

Resultat: 

y = 0.1*x^{1/2}

Comments

wie kommt man auf 2*9k=36k???

Answer 2

Du kannst entweder eine Gleichung nach a oder k umstellen und dann in die andere einsetzen, oder beide Gleichungen nach a umstellen und gleichsetzen:

I. a = 9^k / 0,3

II. a = 36^k / 0,6

 

Gleichsetzen:

9^k / 0,3 = 36^k / 0,6

2*9^k = 36^k

2 = 4^k

k = 1/2

 

In Gleichung I einsetzen:

0,3 = a*9^1/2  ⇒ a = 0,1

 

Damit lautet die Exponentialfunktion:

f(x) = 0,1 *x^1/2 = 0,1*√x