Beweis Stichprobe mit Häufigkeiten

Question

Aufgabe:

Sei \( x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n} \) eine Stichprobe mit Umfang \( \mathrm{n} \) in der die verschiedenen Werten \( a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{k} \) mit den absoluten Häufigkeiten \( h_{1}, h_{2}, h_{3}, \ldots, h_{k} \) bzw. den relativen Häufigkeiten \( f_{1}, f_{2}, f_{3}, \ldots, f_{k} \) auftreten.
Zeigen Sie, dass gilt:

\( \bar{x}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{k} h_{i} \cdot a_{i}=\sum \limits_{i=1}^{k} f_{i} \cdot a_{i} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das beweisen soll, obwohl es eigentlich nicht so schwierig ist. Könnt ihr mir helfen?

Comments

Es ist \(f_i=\frac{h_i}{n}\). Das zweite Gleichheitszeichen ist auch sturres Anwenden der Definition.

Answer 1

Hallo,

das 2. Gleichheitszeichen ergibt sich einfach durch eine Umordnung der Summanden, beruht also auf der Kommutativität der Addition. Man sammelt zuerst alle Summanden \(x_i\)  mit \(x_i=a_1\) und addiert dieser. Weil es davon \(h_1\) viele gibt, ist der Beitrag zur Summe gleich \(h_1a_1\). Dann geht es weiter mit allen \(x_i\) mit \(x_i=a_2\) .....

Formal: Sei \(N:=\{1, \ldots n\}\) und \(I_j:=\{i \in N \mid x_i=a_j\}\).. Dann ist N disjunkte Vereinigung der \(I_j\), \(I_j\) enthält \(h_j\) Elemente: Daher:

$$\sum_{i=1}^n x_i = \sum_{j=1}^k\sum_{i \in I_j}x_i =  \sum_{j=1}^k\sum_{i \in I_j}a_j = \sum_{j=1}^k h_j a_j$$

Gruß Mathhilf