Wie viele Minuten vergehen, bis die Zeiger abermals senkrecht aufeinander stehen?

Question

Aufgabe:

Um 3:00 Uhr stehen der kleine und der große Zeiger einer Uhr exakt senkrecht aufeinander. Wie viele Minuten vergehen, bis die Zeiger abermals senkrecht aufeinander stehen?

Problem/Ansatz:

Hi ich verstehe bei der 5.14 nicht wie ich das berechnen soll . Ich habe mir die Lösungen dazu angeschaut und die waren garnicht verständlich, das hat mich demotiviert , und sitze jetzt nun seit 2 Stunden daran diese Aufgabe zu verstehen . Es ist ja so das der Winkel Zwischen beide Zeigern 90 grad sein muss .

Comments

Kennst du den Begriff Winkelgeschwindigkeit? welchen Winkel legt der große Zeiger pro Min zurück  welchen der kleine ? wie kann man dann den Winkel des großen Zeigers φ1(t) beschreiben , wie den des kleinen φ2(t)

zur Zeit t=0 (3 Uhr) ist φ1(0)=0° φ2(0)=90°

jetzt soll nach einer gesuchten Zeit φ1(t)-φ2(t)=±90° sein-

Gruß lul

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Innerhalb von 12 Stunden stehen die beiden Zeiger 11 mal übereinander.
Zwischen den Ereignissen um 12:00 Uhr und (geschätzt) 3:16 Uhr vergehen also 3* 12/11 Stunden, also 3 Sunden und 3/11 Sunden, es findet 3/11 Stunden nach 3:00 Uhr statt. Nach noch einmal dieser Zeit ist wieder ein rechter Winkel erreicht, also insgesamt nach 6/11 Sunden = 360/11 Minuten.

Answer 1

Wenn es in Deinem Haushalt keine Analoguhr mehr gibt, bitte schön

https://www.geogebra.org/m/p2fxfuph

Wenns auf die 90° zugeht den Sekundentakt auf 1/100 stellen

Unterstützung der Anschauung ;-)

Answer 2

Um 3:00 Uhr stehen der kleine und der große Zeiger einer Uhr exakt senkrecht aufeinander. Wie viele Minuten vergehen, bis die Zeiger abermals senkrecht aufeinander stehen?

(0 + x·360/60) - (90 + x·30/60) = 90 --> x = 360/11 min ≈ 32 min 44 s

Comments

Warum steht eigentlich ein - zwischen den Klammern ?

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Ich messe in der Klammer den Winkel eines Zeigers gegenüber der 12 im Uhrzeigersinn. Die Differenz ist dann der Winkel zwischen den Zeigern.

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Wenn wir von der 12 ausgehen , hat ja der Stundenzeiger 30*3 grad =90 grad im Verhältnis zum Minuten Zeiger der bei 0 grad steht zurückgelegt . Ich verstehe aber auch nicht warum da ein x steht . Ist es eine Formel für eine Bewegung?

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Ist es eine Formel für eine Bewegung?

Nein - der Ausdruck beschreibt eine Position in Grad. \(x\) ist die Zeit in Minuten. Ist ein Zeiger oben (Position 12:00), so sei der Winkel hier \(0°\). Nach \(x\) Minuten ist der Winkel \(\alpha_m\) des Minutenzeigers zur 12-Uhr-Position$$\alpha_m = 0° + x\cdot \frac{360°}{60\,\text{min}}$$und der Winkel \(\alpha_h\) des Stundenzeiger, der bei 03:00 Uhr startet (\(\to 90°\))$$\alpha_h = 90° + x\cdot \frac{30°}{60\,\text{min}}$$

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Nein - der Ausdruck beschreibt eine Position

Es ist auch der überstrichene Winkel (ab 12 Uhr) und damit auch eine Bewegung.

So wie man eine Bewegungsgleichung

s = v * t + s0

hat, so hat man hier auch eine Bewegungsgleichung für den Winkel.

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Man könnte theoretische jetzt 90 grad für jede Funktion einsetzen und dann die Zeit einzeln berechnen und es dann addieren

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Man könnte theoretische jetzt 90 grad für jede Funktion einsetzen ...

ich schrieb:

\(x\) ist die Zeit in Minuten.

wo willst Du denn den Winkel von 90° einsetzen?

und für \(\alpha_h=90°\)  muss man \(x\) auf \(0\) setzen. Aber was bringt das?

Die Funktionen \(\alpha_m(x)\) und \(\alpha_h(x)\) beschreiben den Winkel von Minuten und Stundenzeiger in Abhängigkeit der Zeit \(x\). Ausgehend von 3:00Uhr wird der Minuten- den Stundenzeiger überholen. Und irgendwann wird er einen Vorsprung von \(90°\) gegenüber dem Stundenzeiger haben. Dann beträgt die Differenz der Zeiger eben die verlangten \(90°\). Formal:$$\begin{aligned} \alpha_m(x) - \alpha_h(x)&=  90°\\   0° + x\cdot \frac{360°}{60\,\text{min}} - \left( 90° + x\cdot \frac{30°}{60\,\text{min}}\right) &= 90°\end{aligned}$$löse diese Gleichung nach \(x\) auf.

Answer 3

Aloha :)

Der Minutenzeiger durchläuft in einer Stunde einen vollen Kreis, er hat die Winkelgeschwindigkeit \(\frac{360^\circ}{1\,\mathrm h}\).

Der Stundenzeiger durchläuft in 12 Stunden einen vollen Kreis, er hat die Winkelgeschwindigkeit \(\frac{360^\circ}{12\,\mathrm h}\).

Für einen Beobachter auf dem Stundenzeiger ruht der Stundenzeiger und der Minutenzeiger bewegt sich mit der Differenz der Winkelgeschwindigkeit:$$\frac{360^\circ}{1\,\mathrm h}-\frac{360^\circ}{12\,\mathrm h}=\frac{360^\circ}{1\,\mathrm h}-\frac{30^\circ}{1\,\mathrm h}=\frac{330^\circ}{1\,\mathrm h}$$

Um 3:00 Uhr misst der Beobachter auf dem Stundenzeiger, dass der Minutenzeiger um \(90^\circ\) hinterher hinkt. Aus seiner Sicht muss der Minutenzeiger \(180^\circ\) Grad zurücklegen, damit der Minutenzeiger um \(90^\circ\) vorläuft. Die dafür benötigte Zeit \(t\) erhalten wir nun so:

$$\frac{330^\circ}{1\,\mathrm h}=\frac{180^\circ}{t}\implies t=\frac{180^\circ}{330^\circ}\,\cdot1\,\mathrm h=\frac{6}{11}\,\mathrm h\approx0,\overline{54}\,\mathrm h\approx32\,\mathrm{min}\,44\,\mathrm s$$