Absolute Abweichung zwischen der Varianz und dem Schätzwert?

Question

Aufgabe:

Die folgende Stichprobe wurde aus einer stetigen Gleichverteilung mit der unteren Grenze 17 und der oberen Grenze 31 gezogen:

x₁ = 22.5, x₂ = 28.4, x₃ = 23, x₄ = 30.4, x₅ = 27.2

Ermitteln Sie die Varianz σ² dieser Gleichverteilung sowie den Schätzer für σ² auf Basis der gezogenen Stichprobe. Wie groß ist die absolute Abweichung zwischen der Varianz und dem Schätzwert?

Problem/Ansatz:

Den Erwartungswert habe ich wie folgt berechnet:

(x1+x2+x3+x4+x5)/5 = 65.75

Leider verstehe ich die Formeln für Varianz und Schätzer nicht, kann mir bitte jemand (einfach) erklären, wie meine nächsten Schritte hier sind? Danke :)

Answer 1

Schau doch bitte zunächst unter den ähnlichen Fragen. Dort ist das bereits für andere Werte vorgerechnet worden. Und wenn du das dort nicht verstehst, kannst du dort auch nachfragen.

Answer 2

Google Varianz Gleichverteilung hat mich zu dieser Aussage geführt:

Die Varianz der stetigen Gleichverteilung ist 1/12 (b-a)²

Dabei sind a und b die Intervallgrenzen.

Answer 3

Aloha :)

Für die Gleichverteilung tritt jeder Wert mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p=\frac{1}{31-17}=\frac{1}{14}$ ein. Daraus können wir die Varianz der Gleichverteilung bestimmen:$$\left<X\right>_g=\int\limits_{17}^{31}p\cdot x\,dx=\frac{1}{14}\int\limits_{17}^{31}x\,dx=\frac{1}{14}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{17}^{31}=\frac{1}{14}\cdot\frac{31^2-17^2}{2}=24$$$$\left<X^2\right>_g=\int\limits_{17}^{31}p\cdot x^2\,dx=\frac{1}{14}\int\limits_{17}^{31}x^2\,dx=\frac{1}{14}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{17}^{31}=\frac{1}{14}\cdot\frac{31^3-17^3}{3}=\frac{1777}{3}$$$$\sigma^2_g=\left<X^2\right>_g-\left<X\right>_g^2=\frac{1777}{3}-24^2=\frac{49}{3}\approx16,333$$

Für die Stichprobe aus den $n=5$ Werten erhalten wir die Varianz so:$$\overline x=\left<X\right>_s=\frac15\sum\limits_{i=1}^5x_i=\frac{22,5+28,4+23+30,4+27,2}{5}=26,3$$$$\sigma^2_s=\frac{1}{5-1}\sum\limits_{i=1}^5(x_i-\overline x)^2=\frac14\left((-3,8)^2+2,1^2+(-3,6)^2+6,8^2+1,1^2\right)=19,815$$

Wie erwartet ist die Varainz der Stichprobe größer als die der exakten Gleichverteilung.