Anzahl der möglichen Reihenfolgen der Erfolge Angler

Question

Aufgabe:

 6 Angler fangen zusammen 8 Fische. Auf wie viele Arten kann sich der Erfolg der Angler verteilen? Also wie viele Möglichkeiten gibt es, dass sich die Anzahl der Erfolge verteilt, zum Beispiel Fischer 1 mit 8 Erfolgen, 7 Erfolgen etc.

Problem/Ansatz:

… Es geht mir hier nicht um die Anzahl der Möglichkeiten und nicht um die Reihenfolge der einzelnen Fische! sondern lediglich um die Anzahl der möglichen Reihenfolgen wie sich der Erfolg verteilen kann (siehe Beispiel)

Hab das mal vereinfach mit 4 Fischen auf 3 Angler gemacht, das sehe so aus:

4-0-0 (1)
3-1-0 (2)
3-0-1 (3)
2-2-0 (4)
2-0-2 (5)
2-1-1 (6)
1-3-0 (7)
1-0-3 (8)
1-2-1 (9)
1-1-2 (10)
0-4-0 (11)
0-0-4 (12)
0-3-1 (13)
0-1-3 (14)
0-2-2 (15)

Insgesamt gibt es 15 Möglichkeiten. Wie man daraus jetzt eine Formel bastelt ist mir ein Rätsel.

Answer 1

Kombinatorik Anzahl der Möglichkeiten mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge

((n über k)) = (n + k - 1 über k)

((3 über 4)) = (3 + 4 - 1 über 4) = (6 über 4) = (6 über 2) = 6*5/2 = 15 Möglichkeiten

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlende_Kombinatorik

Comments

Danke dir Mathecoach!

es gab da nämlich so ne ähnliche Frage und da hat jemand die Anzahl der Permutationen als Antwort gegeben (über 1.000.000) was ich bisschen verwirrend fand.

Auf wie viele Arten kann sich der Erfolg der Angler verteilen, Also wie viele Kombinationen gibt es, 8 Fische auf 6 Fischer zu verteilen?

Sind meiner Meinung nach zwei verschiedene Sachen. Deswegen wollte ich noch herausfinden, was das mit den Erfolgen ging.

Gibt ja noch viele andere Formeln, wie ich gesehen habe, aber davon lies sich keine anwenden

Könntest du mir vielleicht noch erklären wie die Rechenschritte gehen?

((3 über 4)) = (3 + 4 - 1 über 4) = (6 über 4) = (6 über 2) = 6*5/2 = 15 Möglichkeiten

Wenn ich 3 über 4 in den Taschenrechner eingeben kommt 0 raus, und warum man jetzt 3 über 4 mit 6 über 4 und dann mit 6 über 2 gleichsetzt verstehe ich auch noch nicht

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es gab da nämlich so ne ähnliche Frage und da hat jemand die Anzahl der Permutationen als Antwort gegeben (über 1.000.000) was ich bisschen verwirrend fand.

Wenn die Fische alle unterscheidbar sind, dann kommt ja eigentlich mehr heraus. Es kommt also darauf an ob man Erfolge verteilt die sich nicht unterscheiden oder Fische die sich unterscheiden.

Gibt ja noch viele andere Formeln, wie ich gesehen habe, aber davon lies sich keine anwenden

Die Formel die ich angewendet habe, ist doch die ganz rechte. Rechne das doch einfach mal nach. Offensichtlich vermeidet dein Baum die Schreibweise als Binomialkoeffizient

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Die Formel die ich angewendet habe, ist doch die ganz rechte.

Rechne das doch einfach mal nach.

ok ich hab zwar gerade gesagt, dass 3 über 4 0 ergibt, aber ich lass mich mal drauf ein :)

\(\huge\frac{(\text{n+k}-1)!}{(\text{n}-1)!\cdot \text{k}!} \\ \frac{(3+4-1)!}{(\text{3}-1)!\cdot \text{4}!} \\\frac{6!}{2!\cdot 4!} = \underline{\underline{15}} \)

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Wenn ich 3 über 4 in den Taschenrechner eingeben kommt 0 raus, und warum man jetzt 3 über 4 mit 6 über 4 und dann mit 6 über 2 gleichsetzt verstehe ich auch noch nicht

Geh mal auf die von mir verlinkte Seite bei Wikipedia

((n über k)) ist anders definiert als (n über k)

Nur das zweite ist der Binomialkoeffizient

((n über k)) steht für (n + k - 1 über k)

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Was wäre wenn man :

4-0-0-0 und
0-0-0-4

nur als eine Möglichkeit zählen würde? Also, dass Reihenfolge, bei der Erfolgsverteilung keine Rolle spielt. Wie würde man dann rechnen?

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4-0-0-0 und
0-0-0-4

Warum benutzt du jetzt gegenüber dem anfänglichen Beispiel drei Nullen? Ein versehen oder bewusst?

Mache ich es mit 4 ununterscheidbaren Kugeln und 3 ununterscheidbaren Eimern dann gibt es folgende Verteilungen

004 ; 013 ; 022 ; 112

Dazu Verwendet man dann die Partitionsfunktion. Siehe dazu https://de.wikipedia.org/wiki/Partitionsfunktion

P(n, k) ist die Anzahl an Möglichkeiten die Summe n in k (von Null verschiedenen) Summanden zu schreiben.

Also

P(4, 1) + P(4, 2) + P(4, 3) = 1 + 2 + 1 = 4

Dabei ist zu beachten das es Leider keinen schönen expliziten Rechenausdruck für P(n, k) als Formel gibt sondern die Werte rekursiv ermittelt werden müssen, was die Benutzbarkeit natürlich sehr einschränkt. Auf einem Rechner ist sowas wieder recht gut implementierbar.