Soft Ice, Anzahl der Toppings bestimmen

Question

Aufgabe: Es geht darum, dass man in einem Soft-Eis Restaurant bis zu 16 Toppings (das was man noch zusätzlich aufs Eis drauf tun kann) wählen kann. Nun soll die Anzahl der Möglichkeiten bestimmt werden, wenn es für die Anzahl der Toppings kein Limit gibt.

R: 16!/0!16!+16!/1!15!+16!/2!14!+16!/3!13!+16!/4!12!+16!/5!11!+16!/6!10!+16!/7!9!+16!/8!8!+16!/9!7!+16!/10!6!+16!/11!5!+16!/12!4!+16!/13!3!+16!/14!2!+16!/15!1!+16!/16!0! = 65536

Gibt es eine einfachere Möglichkeit das darzustellen?

Comments

wenn es für die Anzahl der Toppings kein Limit gibt.

Seltsam. Wenn es für die Anzahl der Toppings kein Limit gibt, dann gibt es kein Limit.

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Wenn Du Dir die Mühe machen würdest zu begründen, was Du gerechnet hast, würdest Du die mögliche Vereinfachung erkennen. Und uch den Kommentar von Mathecoach kommentieren.

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den Kommentar von Mathecoach kommentieren

Das war nicht er.

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dann gibt es kein Limit

Wie kann es denn kein Limit geben, wenn es nur 16 Toppings gibt ?

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Ich mag Bananentoppingschichten ohne Ende. Und darum steht, mir zu liebe, in der Aufgabe, dass es für die Anzahl der Toppings kein Limit gibt.

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Ich mag Bananentoppingschichten ohne Ende. Und darum steht, mir zu liebe, in der Aufgabe, dass es für die Anzahl der Toppings kein Limit gibt.

Da ist wohl nur die Anzahl der verschiedenen Toppings gemeint und nicht die Anzahl an Toppingschichten von einem Topping.

Also n Schichten Bananentopping gibt es nicht. Es sei denn, man kreiert n verschiedene Bananentoppings.

Answer 1

Nehmen wir mal die Toppings Ananas (A), Banane (B), Cranberry (C)

Dann habe ich folgende Möglichkeiten Toppings zu wählen

(3 über 0) = 1 Möglichkeit kein Topping

(3 über 1) = 3 Möglichkeiten genau ein Topping A, B oder C

(3 über 2) = 3 Möglichkeiten genau 2 Toppings zu wählen (Reihenfolge der Toppings egal) AB, AC oder BC

(3 über 3) = 1 Möglichkeit genau 3 Toppings zu wählen ABC

Insgesamt 1 + 3 + 3 + 1 = 8 Möglichkeiten

Nun könnte man die Toppingliste als Binärzahl darstellen. Wobei 000 bedeutet ich nehme kein Topping und 111 ich nehme alle 3 Toppings. Dann gibt es die Möglichkeiten

000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111

Das sind also genau die 8 Möglichkeiten von oben. Es gibt 2^3 = 8 Möglichkeiten für eine 3 stellige Binäre Zahl.

ermanus hat dabei ja schon die Formel genannt, mit der man die Teilmengenanzahl einer n-Elementigen Menge bestimmen kann.

Answer 2

Ich denke, dass man die Anzahl der Teilmengen der 16-elementigen

Menge der Toppings bestimmen soll, also \(|\mathcal{P}(\{1,\cdots,16\})|=2^{16}\).

Hierbei bedeutet \(\mathcal{P}\) die Potenzmenge.

Das ergibt die Zahl, die auch Hikoba angegeben hat.

Comments

Warum lässt sich 16!/0!16!+16!/1!15!+16!/2!14!+16!/3!13!+16!/4!12!+16!/5!11!+16!/6!10!+16!/7!9!+16!/8!8!+16!/9!7!+16!/10!6!+16!/11!5!+16!/12!4!+16!/13!3!+16!/14!2!+16!/15!1!+16!/16!0!

als 2^16 darstellen?

Ich dachte 2^2 steht für 2*2 und nicht für 2!/0!2!+2!/1!1!+2!/2!0!.

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Betrachte den binomischen "Lehrsatz":

\((1+1)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}\)

In deinem Minibeispiel:

\(2^2=4=1+2+1={2\choose 0}+{2\choose 1}+{2\choose 2}\).