Testen sie auf dem 10%-Niveau, unter der Annahme, dass die Lebensdauer der Lampen einer Normalverteilung folgt.

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen behauptet, dass seine Energiesparlampen eine mittlere Lebensdauer von 3000 Stunden haben mit einer Standardabweichung von 400. Ein Einzelhändler hat Beschwerden von seinen Kunden, dass die Glühbirnen weniger als 3000 Stunden halten. Er beschließt, die Behauptung des Unternehmens zu testen, indem er 5 Glühbirnen ununterbrochen eingeschaltet lässt, bis sie defekt gehen.

Seine Ergebnisse sind: 2200 2450 3586 3098 2661

Testen sie auf dem 10%-Niveau, unter der Annahme, dass die Lebensdauer der Lampen einer Normalverteilung folgt, ob die Hypothese, dass die mittlere Lebensdauer 3000 Stunden beträgt, stimmt.

Problem/Ansatz:

… $$\mu = 3000 \\ \sigma = 400\\H_0 = 3000 \vee H_1 \neq 3000$$

Comments

Testen sie auf dem 10%-Niveau

Ist das Konfidenzniveau oder das Fehlerniveau gemeint?

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Wahrscheinlich ist hier das Signifikanzniveau von 10% gemeint mit Sigma 1.64.

Ich bekomme als Grenzen dann 3000+1.645*400 = 3658 und 3000-1.645*400 = 2342.

Gut jetzt liegen 4 Lampen innerhalb des Intervalls und eine Lampe liegt mit 2200 außerhalb des Intervalls. Ist die Hypothese, dass die mittlere Lebensdauer 3000 beträgt, nun wahr oder falsch?

Answer 1

Du musst die Hypothese \( \mu = \mu_0 \) gegen die Alternative \( \mu \ne \mu_0 = 3000 \) testen. Die Testgröße ist

$$ \frac{ \left| \overline{X_n} - \mu_0 \right| \sqrt{n} } { S_n } $$ und der Ablehnungsbereich ist $$ \left( t_{n-1;1 - \frac{\alpha}{2} } ;   \infty \right) $$

\( X_n \) ist der empirische Mittelwert und \( S_n \) ist die empirische Streuung und \( t_{n-1;1 - \frac{\alpha}{2}} \) das \( \alpha = 10\% \) t-Quantil mit \( n-1 \) Freiheitsgraden.

Das entspricht folgendem Ablehnungsbereich

$$ \overline{X_n} > \mu_0 + t_{n-1;1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{S_n}{\sqrt{n}}$$ oder

$$ \overline{X_n} < \mu_0 - t_{n-1;1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{S_n}{\sqrt{n}} $$

Wenn auch ein Test für die Varianz gemacht werden muss, muss man die \( \chi^2 \) Verteilung benutzen.

Testgröße ist $$ \frac{(n-1) S_n^2}{\sigma_0^2} $$ mit \( \sigma_0 = 400 \) und der Ablehnungsbereich ist

$$ \left[ 0 ; \chi^2_{n-1;\frac{\alpha}{2}} \right] \cup \left[ \chi^2_{n-1;1-\frac{\alpha}{2}} ; \infty \right] $$