Angenommen wir führen einen z-Test durch

Question

Aufgabe:

Suppose that we perform a z-test but incorrectly assume that the population variance is 3  instead of the true value of 5. If the null hypothesis is true, what proportion of the time will we incorrectly reject the null hypothesis if we are using a level alpha = 0.1 critical value?

Angenommen, wir führen einen z-Test durch, gehen aber fälschlicherweise davon aus, dass die Populationsvarianz 3 statt des wahren Werts von 5 beträgt. Wenn die Nullhypothese wahr ist, wie viel Zeit werden wir die Nullhypothese fälschlicherweise ablehnen, wenn wir ein Alphaniveau von 0,1 verwenden?

Problem/Ansatz:

Comments

Ich übersetze das mal richtig

Angenommen, wir führen einen z-Test durch, nehmen aber fälschlicherweise an, dass die Varianz der Grundgesamtheit 3 statt des wahren Werts von 5 beträgt. Wenn die Nullhypothese wahr ist, in wie vielen Fällen wird die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt, wenn ein kritischer Wert von alpha = 0,1 verwendet wird?

Answer 1

Du hast nicht spezifiziert was die Nullhypothese sein soll. Ich nehme deshalb einfach mal

\( H_0 : \quad \mu \ne \mu_0 \) an.

Die Länge des Annahmebereiches ist $$  L = 2 z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$ hängt also linear von der Varianz ab. Außerhalb eines Intervalls dieser Länge liegen fälschlicherweise nur \( \alpha \) Prozent der Fälle.

Wenn der Annahmebereich also jetzt durch eine falsche, kleinere Varianz verringert wird, hier um \( 40 \% \), \( 20 \% \) auf jeder Seite, stellt sich die Frage, wie hoch ist dann der Anteil der fälschlicherweise abgelehnt wird.

Dazu muss man das Integral über das verkleinerte Intervall berechnen $$  \int_{ x_u (1-\beta)}^{x_o(1-\beta)} \varphi(x) dx $$ wobei \( \varphi(x) \) die Dichte der Normalverteilung mit Mittelwert \( 0 \) und Varianz \( 1 \) ist und \( \beta \) der Intervallverkleinerungsfaktor ist. Das Ergebnis muss dann von \( 1 - \alpha \) abgezogen werden.

In diesem Fall ergibt sich, dass \( 2.9 \% \) mehr Fälle fälschlicherweise abgelehnt werden.