Numerik: Zustandekommen von Gleichungen

Question

Hey :)

ich habe eine kurze Frage zu einer Numerik-Altklausur. Wisst ihr vielleicht, wie die Werte $$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$$ zustande kommen bzw. inwiefern das gewählte Intervall [0,1] eine Rolle in der Gleichung spielt? Ich verstehe, dass die erste Gleichung die notwendige Bedingung darstellt und auch, dass lediglich die Knoten und Gewichte eingesetzt wurden. Könntet ihr mir vielleicht weiterhelfen?

LG

Answer 1

Hallo,

Die Quadraturformel \(p\)'ter Ordung ist doch so definiert, dass sie für ein Polynom (hier im Intervall [0,1]) vom Grad \(\le p-1\) die exakte Lösung liefert.
Nun ist doch$$\int\limits_{0}^{1} x^{p-1} = \left.\frac 1p x^p\right|_{0}^{1} = \frac 1p$$und die Bedingung für die Quadraturformel \(p\)'ter Ordnung - mit den Knoten \(c_i\) und den Gewichten \(b_i\) - ist:$$\sum_{i=1}^{3} b_ic_i^{p-1} = \int\limits_{0}^{1} x^{p-1} = \frac 1p$$Daher kommen diese Werte \(\displaystyle \frac 1p \in \left\{ 1,\,\frac 12,\, \frac13, \, \dots\right\}\).

Beispiel: \(p=3\); durch 3 Punkte kann eine Parabel (Grad 2) gelegt werden. Nach oben gesagtem muss gelten
$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{3} b_ic_i^{2} &= b_1 c_1^2 + b_2c_2^2 + b_3c_3^2 = \frac 13\\ &= 0b_1 + \left(\frac 13\right)^2 b_2 + c_3^2b_3 \\ &=\frac 19b_2 + b_3c_3^2= \frac13\end{aligned}$$Gruß Werner

Comments

Hey, vielen Dank für deine Hilfe, so habe ich jetzt tauch verstanden, inwiefern das Intervall wichtig ist:)

Noch eine kurze Frage: Es ist doch so, dass die Anzahl der Knoten zwangsläufig mit der Anzahl der Gewichten übereinstimmen muss, oder? Und der Zusatz, dass die Quadraturformel "maximaler" Ordnung gefunden werden soll, ist wahrscheinlich auch obligatorisch, da das bei dem Verfahren ja sowieso automatisch passiert, oder?

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Noch eine kurze Frage: Es ist doch so, dass die Anzahl der Knoten zwangsläufig mit der Anzahl der Gewichten übereinstimmen muss, oder?

Ja - anders macht es keinen Sinn. Es werden alle Produkte aus den Paaren Gewicht und Knoten addiert.

Und der Zusatz, dass die Quadraturformel "maximaler" Ordnung gefunden werden soll, ist wahrscheinlich auch obligatorisch, da das bei dem Verfahren ja sowieso automatisch passiert, oder?

Nicht ganz! In diesem konkretem Fall sind 4 Parameter 'frei' wählbar. Die drei Gewichte \(b_i\) und der Knoten \(c_3\). Um diese zu berechnen, benötigt man vier Gleichungen (s. Lösung). Eine fünfte Gleichung $$\frac1 {3^4} b_2 + c_3^4b_3 = \frac 15$$könnte zu einem Widerspruch führen.

Also ist die maximale Ordnung \(p=4\). Die Lösung aus den vier Gleichungen ist $$b_1=\frac 1{10}, \quad b_2=\frac12,\quad b_3=\frac 25,\quad c_3 = \frac56$$die erfüllt nicht die Gleichung mit \(p=5\)

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Achso, alles klar. Vielen Dank, dass du nochmal geschrieben hast. Damit hast du mir sehr geholfen:)