Funktionsgleichung einer Geraden aufstellen

Question

Ich versuche gerade die Funktionsgleichung einer Geraden g aufzustellen die Senkrecht auf einer anderen Geraden f steht und gleichzeitig eine Parabel P in einem bestimmten Punkt schneidet.

Die Gerade g hat die Funktionsgleichung : g(x) = 5•x + b.

Sie steht damit senkrecht auf der Gerade.                f(x) =      - $\frac{1}{5}$ x -0.4

Ich dachte wenn ich jetzt die Parabelgleichung mit der Geradengleichung g gleichsetze, erhalte ich b in Abhängigkeit von x.

g(x) = P (x)

5x+ b = 0.5 x² -9x+10

...

b= 0.5x²-9x +10

Jetzt habe ich aber leider keine Gerade mehr.

g(x) = 5x + 0.5x² - 9x+10

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Dieser Überlegung voraus geht die Aufgabe:

Gegeben ist die Parabel

p : y=0,5x²-4x+10
Die Gerade a : y=0,5x+3 schneidet die Parabel p in den Punkten C und D.
a) Bestimme durch Rechnung die Koordinaten des Scheitels S und zeichne die
Parabel in ein Koordinatensystem.
b) Zeichne die Gerade g in das Koordinatensystem und berechne die Koordinaten
der Schnittpunkte C und D.
c) Der Punkt C bildet zusammen mit den Punkten

A(-2/0) und B (8/-2) 
Dreieck ABC. Zeichne das Dreieck in das Koordinatensystem ein und überprüfe
rechnerisch, ob das Dreieck bei C rechtwinklig ist.
d) Der Punkt Cn wandert auf der Parabel und bildet zusammen mit den Punkten
A und B Dreiecke ABCn . Gib die Fläche der Dreiecke ABCn in Abhängigkeit
vom x-Wert des Punktes Cn an.
e) Berechne denjenigen x-Wert, für den die Fläche der Dreiecke ABCn einen
Extremwert annimmt und gib den Flächeninhalt dieses Dreiecks an.

a b und c habe ich fertig. d versuche ich anzugehen, in dem ich erstemal die Höhe eines dieser beliebigen Dreiecke bestimme. Die Höhe liegt in jedem Fall auf der Geraden g die senkrecht auf der Dreiecksseite c liegt und die Parabel im Punkt (x/y) schneidet

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Skizze der Aufgabe

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Ergänzend zu Aufgabenteil b) dort sollte stehen: zeichne die Gerade a. Das ist in dem Fall die Strecke AC

Answer 1

Hallo,

Mich würde interessieren wie du rangehen würdest an Aufgabenteil d. Da es hier keinen festen Winkel gibt und nur eine feste Seite, bin ich etwas ratlos.

Ok - ich hab das ganze zunächst in Desmos gegossen. Die Parabel (rot) ist$$f(x)= 0,5x^2 - 4x + 10$$

Du kannst den Punkt $C_n$ hier online verschieben. Dabei ändert sich natürlich der Flächeninhalt $F$ des Dreiecks $\triangle ABC_n$ (grün). Und es ist doch so, dass der Flächeninhalt genau dann ein Minumim erreicht, wenn sich $C_n$ am dichtesten an der Geraden durch $AB$ befindet. Ich habe diesen Punkt mit einem Kreuz markiert.

In diesem Punkt hat die Tangente (grün gestrichelt) an die Parabel die gleiche Steigung wie die Gerade durch $AB$. Es wäre also ein leichtest den Punkt zu berechnen, wenn man die Gleichung der Parabel ableitet und gleich der Steigung der Geraden durch $AB$ setzt.

Die Gerade durch $AB$ hat die Steigung $m_{AB}$$$m_{AB} = \frac{B_y - A_y}{B_x - A_x} = \frac{-2-0}{8-(-2)} = -\frac 15$$Jetzt möchstest Du das aber ohne Ableitung lösen - oder? Das kannst Du auch tun, indem Du für diese Tangente zunächst eine beliebige Gerade $h$ gleicher Steigung annimmst. Wir wissen ja, dass die Steigung der Tangente dieselbe ist, wie die der Geraden durch $AB$$$h: \quad x = m_{AB} x + d$$$d$ ist noch unbekannt. Jetzt berechne die Schnittpunkte von $h$ mit der Parabel$$\begin{aligned}0,5x^2 - 4x + 10&=-\frac 15 x + d \\ x^2 -2\left(4-\frac15\right) +20 - 2d &= 0 \\ x_{1,2} &= \frac{19}{5} \pm \sqrt{\left(\frac{19}{5}\right)^2 -20 + 2d}\end{aligned}$$weiter zu rechnen braucht man hier gar nicht. Uns interessiert nur der Fall, bei dem es nur genau einen Schnittpunkt mit der Parabel gibt (warum?). Und das tritt ein, wenn der Ausdruck unter der Wurzel zu 0 wird!

D.h das gesuchte $x_{\text e}$, bei dem die Fläche ein Extremum erreicht, ist $x_{\text{e}}=19/5=3,8$.

Im Vergleich dazu ist es fast schon schwieriger, eine Funktion $F(x)$ aufzustellen, die in Abhängigkeit des X-Wertes von $C_n$ die Fläche $F$ des Dreiecks liefert.

Betrachte dazu das achsenparallele Rechteck, welches das Dreieck einschließt. Die Fläche $F$ des Dreiecks ist die Fläche des Rechtecks minus alle Dreiecke, die nicht dazu gehören:$$F= (B_x-A_x)(C_{ny}-B_y) - \dots$$oder man benutzt gleich die Gaußsche Flächenformel (die im Prinzip nichts anderes macht!)$$\begin{aligned}2F(x)&= (A_y+B_y)(A_x-B_x) + (B_y+C_{ny})(B_x-C_{nx}) + (C_{ny}+A_y)(C_{nx}-A_x) \\ &= (0-2)(-2-8) + (-2+f(x))(8-x) + (f(x)+0)(x-(-2)) \\ &= 20 - 16 + 2x +8f(x) -xf(x) +xf(x) +2f(x) \\ &= 4+2x +10f(x) \\ F(x) &= 2+x+5f(x) \\ &= 2+x + \frac52x^2 -20x + 50 \\ &= \frac52x^2 -19x + 52\end{aligned}$$

das obige sollte mit Mittelstufenwissen zu machen sein. Klassisch spart man sich wohl Rechnerei wenn man die Normalform der Geraden nutzt. Dazu berechnet man den Normalenvektor $\vec{n}$ zu $c$ - also der Geraden durch $AB$$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 10\\-2 \end{pmatrix} \\ \implies \vec n = \begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix}$$stellt dann eine Normalform der Geraden $c$ auf:$$\begin{aligned} c: \quad \vec n \vec x - \vec{n}\cdot A &= 0 \\ \begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix} \vec x - \begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\0 \end{pmatrix} &= 0 \\ \begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix} \vec x + 2 &= 0 && |\vec n| = \sqrt{26}\end{aligned}$$und damit berechnet man den Abstand $h$ von $C_n$ zur Geraden $c$$$h = \frac{1}{\sqrt{26}}\left(\begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix} C_n + 2\right)$$da $|AB| = 2\sqrt{26}$ fällt der Wurzelausdruck bei der Fläche wieder weg$$F(x) = \frac{1}{2} h |AB| = \begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix} C_n + 2$$und dies ist (natürlich) identisch mit dem Ausdruck für $F(x)$ oben, wenn man es ausmultipliziert.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich ruhig noch einmal.

Gruß Werner

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort und deine Mühe Werner. Ich werde mir das noch einmal genauer anschauen die Tage, erst einmal mache ich das Heft zur Einführung in die Difernzialrechnung durch bevor ich mich wieder in den Extremwertaufgaben verliere ,). Aber meines Ertrachtens nach, schon eigenartig so eine Aufgabe in Material für die 8-10 Klasse zu packen. Da ich so etwas nicht im Ansatz in den Heften davor hatte oder in den jetzigen habe. Ist eine Aufgabe aus einer Datei von Mathe Physik de.

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Da ich so etwas nicht im Ansatz in den Heften davor hatte oder in den jetzigen habe

Du siehst ja, es gibt viele Lösungen für so eine Aufgabe und im Schulunterricht wird i.A. nur eine davon besprochen. Und ich kann nicht wissen, was in Deinen Heften steht und was nicht.

Mein Ziel war es die Aufgabe 'ohne Ableitung' und ohne lineare Algebra zu lösen. Letzteres kommt sicher erst in der Oberstufe dran.

Btw. wenn man in der Schule lernen würde, was eine Parabel geometrisch ist (macht man nicht, glaube ich!) dann gäbe es auch eine geometrische Lösung:

Man zeichne den Brennpunkt der Parabel ein (der liegt bei $(4|\,2,5)$) und fällt das Lot (schwarz) auf die Gerade durch AB. Der Schnittpunkt des Lotes mit der Leitgeraden der Parabel (oben in rot getrichelt dargestellt) liefert Dir den X-Wert des Minimums (der grüne Punkt).

Mathematik ist weites Feld und ich finde es schon fazinierend wie viele unterschiedliche Lösungen so ein ein vermeintlich einfaches Problem hervor bringt. In der Schule bekommt man davon leider viel zu wenig mit.

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Auf jeden Fall war es zu wenig ,).

Da stimme ich dir in beiden Aussagen zu - Die Parabel wurde uns nicht geometrisch erklärt und die Mathematik ist in ihrer thematischen Breite und Breite an Lösungsstrategien sehr interessant.

Bei der Breite an Lösungen, und bei der Breite an Stoff ist es aber auch wohl kaum möglich den meisten Schülern noch mehr beizubringen, wenn das Interesse meist schon bei den Basics verloren geht.

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ich habe meinen Kommentar oben nochmal korrigiert. Es ist der Schnittpunkt mit der Leitgeraden und nicht mit der Horizontalen durch den Scheitel.

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Dankeschön für die Arbeit!

Answer 2

f(x) hat die Steigung -1/5 = -0,2

f(x) = -0,2x+b

Setze den Parabelpunkt in f(x) ein um b zu erhalten.

Wie Koordinaten hat P?

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Das ist ja die Sache. Die Parabel hat keinen festen Punkt. Es geht um das aufstellen einer Geradengleichung g(x) die Senkrecht auf f(x) steht und gleichzeitig einen bestimmten nicht festgelegten Punkt der Parabel p(x) schneidet

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Ergänzend zu Aufgabenteil b), Zeichne die Gerade a

Answer 3

ch versuche gerade die Funktionsgleichung einer Geraden g aufzustellen die Senkrecht auf einer anderen Geraden f steht und gleichzeitig eine Parabel P in einem bestimmten Punkt schneidet.

Wenn es keinen festen Punkt der Parabel gibt, dann gibt es doch unendlich viele Lösngen. Man könnte b z.B. so bestimmen, das die Gerade genau eine Tangente an der Parabel ergibt.

Für b >= -88 schneidet die Gerade die Parabel

Skizze

Plotlux öffnen

f₁(x) = 0,5x²-9x+10f₂(x) = 5x-88Zoom: x(-60…60) y(-40…40)

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Ich wollte b variabel machen. So das ich immer eine Gerade erhalte die f(x) und p(x) gleichzeitig schneidet. Also der Kern der Aufgabe ist es den Flächeninhalt alle Dreiecke A B Cn in Abhängigkeit von x anzugeben. Hätte ich die Gleichung einer solchen Gerade würde ich ein wenig weiter mit der Aufgabe kommen. Siehe Skizze. C sei immer ein beliebiger Punkt auf der Parabel. Mit der Geradengleichung g(x) mit b in Abhängigkeit von x könnte ich dann an die Höhe des Dreiecks in Abhängigkeit von x kommen.

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Wie gesagt gibt es unendlich Viele Geraden die dann die Parabel in 2 Punkten schneiden.

Zeichne doch mal ein wie du es dir vorstellst.

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Also wenn ich die Skizze betrachte,  egal welchen x Wert ich einsetze, die Höhe auf c ist immer eine Gerade die senkrecht auf f(x) steht und die Parabel schneidet. Wenn ich jetzt eine solche Gerade in Abhängigkeit von x angeben kann, lässt sich für mich auch der Flächeninhalt berechnen

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Wie würdest du denn an die Extremwertaufgabe rangehen? Mein Gedanke war: Wenn ich eine Gerade angeben kann die für jeden beliebigen x Wert der Parabel durch die Koordinate der Parabel bei diesem Wert verläuft und der Dreiecksgrundseite, dann muss ich nur den Abstand der beiden Schnittpunkte in Abhängigkeit von x angeben und kann den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von x angeben.

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d) Der Punkt Cn wandert auf der Parabel und bildet zusammen mit den Punkten A und B Dreiecke ABCn . Gib die Fläche der Dreiecke ABCn in Abhängigkeit vom x-Wert des Punktes Cn an.

Gerade durch A und B

y = - 1/5·(x + 2)
y = - x/5 - 2/5
5·y = - x - 2
x + 5·y = - 2

Gerichteter Abstand eines Punktes zur Geraden durch A und B

d = (x + 5·y + 2)/√26

Länge der Strecke AB

√(10² + 2²) = √104

Gerichteter Fläche eines Dreiecks ABCn

A = 1/2·√104·(x + 5·(0.5·x² - 4·x + 10) + 2)/√26

A = 2.5·x² - 19·x + 52

e) Berechne denjenigen x-Wert, für den die Fläche der Dreiecke ABCn einen Extremwert annimmt und gib den Flächeninhalt dieses Dreiecks an.

Extremwert hat man im Scheitelpunkt. Dieser Extremwert ist ein Minimum. Es ergibt sich

Sx = - (- 19)/(2·2.5) = 3.8

A = 2.5·3.8² - 19·3.8 + 52 = 15.9

Der Flächeninhalt berträgt damit 15.9 FE.

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Das Ergebnis vom Mathecoach unterscheidet sich von meinem, da in der Frage die Funktionsgleichung der Parabel mit$$p(x)= \frac12 x^2 - {\color{red} 9}x - 10$$angegeben ist und in der (Original-?)Aufgabenstellung im Kommentar steht$$p(x)= \frac12 x^2 - {\color{red} 4}x - 10$$

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Genau. Die Gleichung mit 4x ist die richtige. Die Gleichung mit 9x entspricht meinem misslungenen Versuch 5x+b mit dem Parabelterm 0.5x² -4x+10 gleichzusetzen.

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Dann habe ich meine Rechnung oben angepasst.