Hallo,
Mich würde interessieren wie du rangehen würdest an Aufgabenteil d. Da es hier keinen festen Winkel gibt und nur eine feste Seite, bin ich etwas ratlos.
Ok - ich hab das ganze zunächst in Desmos gegossen. Die Parabel (rot) ist$$f(x)= 0,5x^2 - 4x + 10$$
Du kannst den Punkt \(C_n\) hier online verschieben. Dabei ändert sich natürlich der Flächeninhalt \(F\) des Dreiecks \(\triangle ABC_n\) (grün). Und es ist doch so, dass der Flächeninhalt genau dann ein Minumim erreicht, wenn sich \(C_n\) am dichtesten an der Geraden durch \(AB\) befindet. Ich habe diesen Punkt mit einem Kreuz markiert.
In diesem Punkt hat die Tangente (grün gestrichelt) an die Parabel die gleiche Steigung wie die Gerade durch \(AB\). Es wäre also ein leichtest den Punkt zu berechnen, wenn man die Gleichung der Parabel ableitet und gleich der Steigung der Geraden durch \(AB\) setzt.
Die Gerade durch \(AB\) hat die Steigung \(m_{AB}\)$$m_{AB} = \frac{B_y - A_y}{B_x - A_x} = \frac{-2-0}{8-(-2)} = -\frac 15$$Jetzt möchstest Du das aber ohne Ableitung lösen - oder? Das kannst Du auch tun, indem Du für diese Tangente zunächst eine beliebige Gerade \(h\) gleicher Steigung annimmst. Wir wissen ja, dass die Steigung der Tangente dieselbe ist, wie die der Geraden durch \(AB\)$$h: \quad x = m_{AB} x + d$$\(d\) ist noch unbekannt. Jetzt berechne die Schnittpunkte von \(h\) mit der Parabel$$\begin{aligned}0,5x^2 - 4x + 10&=-\frac 15 x + d \\ x^2 -2\left(4-\frac15\right) +20 - 2d &= 0 \\ x_{1,2} &= \frac{19}{5} \pm \sqrt{\left(\frac{19}{5}\right)^2 -20 + 2d}\end{aligned}$$weiter zu rechnen braucht man hier gar nicht. Uns interessiert nur der Fall, bei dem es nur genau einen Schnittpunkt mit der Parabel gibt (warum?). Und das tritt ein, wenn der Ausdruck unter der Wurzel zu 0 wird!
D.h das gesuchte \(x_{\text e}\), bei dem die Fläche ein Extremum erreicht, ist \(x_{\text{e}}=19/5=3,8\).
Im Vergleich dazu ist es fast schon schwieriger, eine Funktion \(F(x)\) aufzustellen, die in Abhängigkeit des X-Wertes von \(C_n\) die Fläche \(F\) des Dreiecks liefert.
Betrachte dazu das achsenparallele Rechteck, welches das Dreieck einschließt. Die Fläche \(F\) des Dreiecks ist die Fläche des Rechtecks minus alle Dreiecke, die nicht dazu gehören:$$F= (B_x-A_x)(C_{ny}-B_y) - \dots$$oder man benutzt gleich die Gaußsche Flächenformel (die im Prinzip nichts anderes macht!)$$\begin{aligned}2F(x)&= (A_y+B_y)(A_x-B_x) + (B_y+C_{ny})(B_x-C_{nx}) + (C_{ny}+A_y)(C_{nx}-A_x) \\ &= (0-2)(-2-8) + (-2+f(x))(8-x) + (f(x)+0)(x-(-2)) \\ &= 20 - 16 + 2x +8f(x) -xf(x) +xf(x) +2f(x) \\ &= 4+2x +10f(x) \\ F(x) &= 2+x+5f(x) \\ &= 2+x + \frac52x^2 -20x + 50 \\ &= \frac52x^2 -19x + 52\end{aligned}$$
das obige sollte mit Mittelstufenwissen zu machen sein. Klassisch spart man sich wohl Rechnerei wenn man die Normalform der Geraden nutzt. Dazu berechnet man den Normalenvektor \(\vec{n}\) zu \(c\) - also der Geraden durch \(AB\)$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 10\\-2 \end{pmatrix} \\ \implies \vec n = \begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix}$$stellt dann eine Normalform der Geraden \(c\) auf:$$\begin{aligned} c: \quad \vec n \vec x - \vec{n}\cdot A &= 0 \\ \begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix} \vec x - \begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\0 \end{pmatrix} &= 0 \\ \begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix} \vec x + 2 &= 0 && |\vec n| = \sqrt{26}\end{aligned}$$und damit berechnet man den Abstand \(h\) von \(C_n\) zur Geraden \(c\)$$h = \frac{1}{\sqrt{26}}\left(\begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix} C_n + 2\right)$$da \(|AB| = 2\sqrt{26}\) fällt der Wurzelausdruck bei der Fläche wieder weg$$F(x) = \frac{1}{2} h |AB| = \begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix} C_n + 2$$und dies ist (natürlich) identisch mit dem Ausdruck für \(F(x)\) oben, wenn man es ausmultipliziert.
Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich ruhig noch einmal.
Gruß Werner
