Integral, quadratische Funktionsgleichung aufstellen

Question

Aufgabe:

Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen einer quadratischen Funktion f und der x-Aschse im Intervall [0; 3] beträgt 20E².

Der Funktionsgraph f hat in T(2/4) einen Tiefpunkt. Gib die Funktionsgleichung von f an.

Problem/Ansatz:

Zuerst kam ich auf f(x) = (x-2)²+4, dies ist jedoch falsch.

Answer 1

Aloha :)

Der Tiefpunkt \(T(2|4)\) der quadratischen Funktion ist der Scheitelpunkt.

Daher kennen wir bis auf einen Faktor \(a>0\) die Funktionsgleichung bereits:$$f(x)=a(x-2)^2+4\quad;\quad a>0$$

Die Funktion verläuft vollständig oberhalb der \(x\)-Achse, denn \(f(x)\ge4\).

Daher können wir den letzen Hinweis mit der Fläche als einfaches Integral formulieren:$$20\stackrel!=\int\limits_0^3f(x)\,dx=\int\limits_0^3\left(a(x-2)^2+4\right)dx=\left[\frac a3(x-2)^3+4x\right]_{x=0}^3$$$$\phantom{20}=\left(\frac a3+12\right)-\left(-\frac83a\right)=3a+12\quad\implies\quad a=\frac{8}{3}$$

Die gesuchte Funktion lautet daher:$$f(x)=\frac{8}{3}(x-2)^2+4$$

Answer 2

f(x) = ax^2+bx+c

f '(x) = 2ax+b

F(x)= a/3*x^3+b/2*x^2+cx

f(2)= 4

f '(2) = 0

∫f(x)dx von 0 bis 3 = 20

4a+2b+c=4

4a+b =0 -> b= -4a

9a+4,5b+3c = 20

Comments

dies ist jedoch falsch.

Weil du den Formfaktoe a nicht berücksichtigt hast. Der Ansatz (ohne Gleichungssystem und ohne Ableitung)  f(x) = a·(x-2)^2+4 liefert a=8/3 aus [a/3·(x-2)^3+4x]₀³ = 20