Integral: Zylinderkoordinaten / Berechnung von: Masse, Schwerpunkt, Trägheitsmoment

Question

Aufgabe: Zylinderkoordinaten

Berechnen Sie die Masse des Körpers

\( K=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid(0 \leq z \leq 1) \wedge\left(x^{2}+y^{2} \leq(1-z)^{4}\right)\right\} \)
mit konstanter Dichte \( \rho=1 \). Ermitteln Sie anschließend die \( z \)-Koordinate seines Schwerpunktes und das Trägheitsmoment bei Rotation um die \( z \)-Achse.

Problem: Wie ermittel ich hier die Integralgrenzen? Für z ist sind die Grenzen ja 0 bis 1? Was sind dann die Grenzen für r und phi ?

Answer 1

Um deine konkrete Frage bzgl. der Integrationsgrenzen zu beantworten, ergänze ich mal diese Antwort.

Du weißt schon, dass hier Zylinderkoordinaten geeignet sind, wobei

\((x,y)=r(\cos\phi , \sin\phi)\) 

Die Koordinate \(z\) ist unabhängig von den anderen Variablen und läuft von 0 bis 1. Damit ist das der Kandidat für das äußere Integral:

$$\int_{z=0}^1 \ldots \, dz$$

Mit der Gleichung \(x^2+y^2 \leq R^2\) wird die Fläche eines Kreises mit Radius \(R\) beschrieben. Mit \((x,y)=r(\cos\phi , \sin\phi)\) erhältst du

$$(r,\phi)\in [0,R]\times [0,2\pi]$$

Für \(K\) hast du dabei \(R= R(z) = (1-z)^2\). Somit egeben sich die Integrationsgrenzen wie folgt:

$$\int_K1\,d(x,y,z) = \boxed{\int_{z=0}^1\int_{r=0}^{(1-z)^2}\int_{\phi=0}^{2\pi}r\,d\phi dr dz}$$$$ = 2\pi\int_{z=0}^1\int_{r=0}^{(1-z)^2}r\, dr dz=\pi\int_{z=0}^1(1-z)^4\, dz = \frac{\pi}{5}$$

Answer 2

Mit Fubini ergibt sich (\( B\left( x, r\right)\subset \mathbf{R}^{3}  \) sei hier der abgeschlossene Ball mit Mittelpunkt \( x\) und Radius \( r\))
\(\begin{aligned} \int_{ K} d( x, y, z) = \int_{ \mathbf{R}^{3} } \mathbf{1}_{ K} \,d( x, y, z) &= \int_{ \mathbf{R}^{3} } \mathbf{1}_{ \{ 0\leqslant z\leqslant 1\}} \mathbf{1}_{ B\left( 0, ( 1 - z) ^{ 2}\right) } \, d ( x, y, z) \\ &= \int_{ \mathbf{R}}\mathbf{1}_{ \{ 0\leqslant z\leqslant 1\}}  \int_{ \mathbf{R}^2}  \mathbf{1}_{ B\left( 0, ( 1 - z) ^{ 2}\right) } \, d ( x, y)  \, dz \\ &= \pi \int_{ 0} ^{ 1} ( 1 - z) ^{ 4} \, dz = \frac{\pi}{ 5} \end{aligned}\)
wobei verwendet wurde, dass \( \operatorname{vol}( B\left(0, r\right) ) = \pi r ^{ 2}\). Vielleicht hast du jetzt eine Idee, wie du die zweite Aufgabe angehen kannst.
Am besten immer mit Indikatorfunktionen arbeiten, die machen dir das Leben einfacher (und vorallem deine Lösung formal korrekt).