Keine Divergente Teilfolge

Question

Aufgabe: Sei (an)n∈N eine Folge in IR≥0, die keine bestimmt divergente Teilfolge besitzt.

Problem/Ansatz: Bedeutet das,  dass die Folge keine Teilfolge besitzt, die gegen unendlich divergiert. Folge: Sie besitzt einen Grenzwert, gegen den sie konvergiert und ist somit beschränkt, da jede konvergente Folge konvergiert  (Satz aus Vorlesung)?

Answer 1

eine Folge in IR≥0, die keine bestimmt divergente Teilfolge besitzt.

ist jedenfalls beschränkt.

Comments

Das sollen wir zeigen, wollte nur erstmal mir klarmachen was die Bedingungen bedeuten. Kann man das so schlussfolgern?

Also kein bestimmte divergente Teilfolge —> keine Teilfolge strebt gegen unendlich und somit existiert ein K mit |a(n)| <= K. Und da jede konvergente Folge beschränkt ist, ist diese auch beschränkt

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Von konvergent ist doch keine Rede. Wohl eher so:

Beh.: (a_n)_n∈N ist nach oben beschränkt.

(nach unten sowieso wegen a_n ∈ℝ^≥0 .)

Angenommen, dem wäre nicht so, dann gibt es zu jedem k∈ℕ

ein n∈ℕ mit a_n>k .   Wähle dann b_k := a_n .

Dann wäre ( b_k)_k∈N  eine Teilfolge von a_n, die gegen

unendlich geht. Widerspruch!