(fn) punktw. beschr. -> Teilfolge konvergiert für jedes x. (Punktweise Konvergenz und Teilfolgen)

Question

mal wieder hab ich eine Aufgabe, bei der ich mir nicht richtig sicher bin, wie ich sie angehe. 

Hier erstmal die Aufgabe: 

"Sei (f_n) eine punktweise beschränkte Folge von reellen Funktionen auf einer abzählbaren Menge E.
Beweisen Sie: 

Dann hat (f_n) eine Teilfolge (f_n_k), so dass (f_n_k (x)) fur jedes x ∈ E konvergiert. 

Hinweis: Betrachten Sie die in einer Folge angeordneten Elemente aus E und untersuchen dann iterativ gebildete Teilfolgen. Schließlich müssen Sie noch zu einer gewissen ’Diagonalfolge’ all dieser Teilfolgen übergehen."

Da ich leider zur Zeit etwas am kränkeln bin, is mein Kopf nicht so ganz da (Aber auch generell tu ich mich noch etwas schwer mit dem Stoff). Wäre also dankbar für einen Ansatz, vieleicht etwas worüber ich mir gedanken machen kann. 

Liebe Grüße und danke für die Hilfe
Moony

Answer 1

https://books.google.de/books?id=YIafBgAAQBAJ&pg=PA78

Comments

Danke hier für schon mal. 

ich versuch ihr mal eine formulierung abzutippen: 

Sei (f_n) eine punktweise beschränkte Folge von reellen Funktionen auf einer abzählbaren Menge E. E = {x_1, x_2...}.

Die Folge a_n = f_n (x_1) für n = {1,2,...} ist beschränkt und bestitz daher eine konvergente Teilfolge (f_1n). 

Daher ist (f_1n) = (f_11, f_12, f_13,...) für x = x_1 konvergent und für x = x_2 i. a. nicht konvergent aber beschränkt. Sie bestitzt also auch eine Teilfolge (f_2n). 

(f_2n) = (f_21, f_22, f_23,...) an der Stelle x = x_2 konvergent und für x = x_3 i. a.nicht konvergent aber beschränkt. Auch sie besitzt wiederum eine Teilfolge (f_3n). 

Durch iteratives Betrachten sieht man also folgendes:

f_11, f_12, f_13,... , ist konvergent für x = x_1,   

f_21, f_22, f_23,... , ist konvergent für x = x_1, x_2,   

f_31, f_32, f_33,... , ist konvergent für x = x_1, x_2, x_3,

usw.   

Die k-te Zeile ist also eine Teilfolge der (k - 1)-ten Zeile. Sie konvergiert für x = x_1, ... ,x_k. Die Diagonalfolge (f_n_k) = (f_11, f_22, f_33,...) ist konvergent für alle x = x_k also für alle x ∈ E, da sie eine Teilfolge der k-ten Zeile (k = 1,2,...) ist. qed.

Reicht das so, oder sollte ich noch etwas abändern oder hinzufügen. In der vergangenheit hatten wir mal bewiesen, das Teilfolgen einer konvergente Folgen auch konvergieren. Ich denke das werde ich dann noch als Ergänzung hinzufügen. 

Ich weiß, dass ich nicht viel von dem Buchtext geändert habe, aber ich schaffe es sogar bei sowas noch blödsinn zu reden. hehe!