Ist jede monoton wachsende Folge, die eine beschränkte Teilfolge hat, konvergent?

Question

Aufgabe:

Ist jede monoton wachsende Folge, die eine beschränkte Teilfolge hat, konvergent?

Problem/Ansatz:

Die Aufgabestellung ist genau der Titel. Mein Bauchgefühl ist: ja. Die Gründe liegen darin:

Wegen Monotoniekriterium ist diese beschränkte Teilfolge konvergent.

(Monotoniekriterium : eine monotone und beschränkte Folge ist konvergent)

Weiterhin ist die Folge monoton wachsend. Dann finde ich intuitive, dass diese Folge auch konvergent ist.

Also jede monoton wachsende Folge, die eine beschränkte Teilfolge hat, ist konvergent.

Aber ich weiß nicht, wie man diesen Satz beweisen kann. (wenn mein Gefühl falsch ist, dann wie man diesen Satz widerlegen kann.)

Bitte helfen Sie mir.

Herzlichen Dank im Voraus!

Answer 1

Hallo,

die Folge selbst ist dann auch beschränkt, also konvergent.

Denn: Die Folge sei \((x_n)\), die Teilfolge \((x_{n_k})\) und eine obere Schranke für die Teilfolge sei x.

Sein nun \(n \in \mathbb{N}\); dann existiert ein \(n_j\) mit \(n_j>n\). Wegen der Montonie der Folge ist:

$$x_n \leq x_{n_j}\leq x$$

Also ist x auch eine Schranke für die ganze Folge.

Gruß Mathhilf