Folge besitzt keine konvergente Teilfolge => abgeschl. Einheitskugel nicht kompakt

Question

ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Man zeige, dass in \( \left(C([0 ; 1]),\|\cdot\|_{\infty}\right) \) die Folge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( f_{n}(x):=x^{n} \) keine konvergente Teilfolge besitzt, und folgere daraus, dass die abgeschlossene Einkeitskugel \( B_{1}^{\prime}(0) \) in \( C([0 ; 1]) \) nicht kompakt ist.

Ich habe im Herbst angefangen zu studieren und muss sagen, dass mich solche "abstrakten" Aufgaben total überfordern. Ich weiß zwar was die Dinge bedeuten und kenne deren Definitionen/Eigenschaften, aber habe leider keine Idee, wie ich sowas zeigen soll. Hoffe, ihr könnt mir mit der Aufgabe helfen oder mir zumindest sagen, wie man solche Aufgaben überhaupt angeht. :/

Answer 1

Variante 1: \(f_n\) konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig gegen eine Funktion die nicht stetig ist. Selbige gilt für alle Teilfolgen.

Variante 2: Zeige, dass es keine Teilfolge gibt, die die Cauchybedingung erfüllt (es handelt sich hier ja um einen  vollständigen metrischen Raum).

Ist die Folgerung klar, warum dann die genannte Einheitskugel nicht kompakt ist?

Gruß

Comments

deine Antwort hat mir schon mal sehr geholfen. :)

Habe den ersten Teil jetzt eigentlich soweit fertig und ich glaube, dass ich das auch halbwegs verstehe, was mir auch fürs erste reicht.

Der zweite Teil mit der Folgerung ist mir jedoch nicht wirklich klar. Wäre super, wenn du oder wer anders nochmal paar Worte dazu sagen könnten. :)

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Die Aufgabe ist zwar schon etwas abstrakter als jetzt Rechnung im \(\mathbb{R}^3\) aber man sollte trotzdem versuchen dem ganzen ein wenig Hand und Fuß zu geben und sich nicht abschrecken lassen. So wild ist das ganze nicht.

Was hast du denn überhaupt da?

\(C([0,1])\): Menge aller stetigen Funktionen auf dem Intervall \([0,1]\).

Die Metrik \(\|.\|_{\infty}\) bietet dir grade hierbei die Möglichkeit solche Funktionen anhand einer Eigenschaft zu unterscheiden bzw. noch besser: ganz viele von Ihnen mit wenig Schreibaufwand zu gruppieren. Da die Metrik im Grunde ja die selben Eigenschaften erfüllt, wie der Betrag auf den reellen Zahlen, beschreibt er sowas wie eine Art abstrakten Abstand.

Die abgeschlossene Einheitskugel \(B'_1(0)\) ist die Menge aller stetigen Funktionen, deren Betrag auf \([0,1]\) nicht größer als 1 ist (somit alle  Funktionen aus \(C([0,1])\) deren "Abstand" von der Nullfunktion kleiner gleich 1 ist).

Soviel dazu. Da wir einen metrischen Raum vorliegen haben, wäre \(B'_1(0)\) genau dann kompakt, wenn alle Folgen innerhalb der Einheitskugel eine konvergente Teilfolge besitzen. \(f_n\) ist eine solche Folge und mit dem ersten Teil hast du also ein Gegenbeispiel gefunden!