ist jede beschränkte Teilfolge einer konvergenten Folge konvergent?

Question

1) ist jede beschränkte Teilfolge einer konvergenten Folge konvergent?

Ich würde ja sagen, Kann man da mit Bolzano-Weierstraß argumentieren?

Hat jemand eine korrekte Begründung?

und gilt dann

2) das jede Teilfolge einer konvergenten Folge beschränkt ist?

vielen Dank schonmal

Answer 1

Wenn eine Folge konvergiert ,dann folgt dass auch jede Teilfolge gegen den selben Wert konvergiert.
Einen mathematischen Beweis kann ich dir grade nicht geben. Aber du kannst es dir veranschaulichen, wenn du dir übelegst ,dass eine Teilfolge monoton sein muss. Gibt man nun vor ,dass die Folge konvergent ist,also beschränkt. So laufen alle Teilfolgen aufgrund der Monotonie irgendwann auch gegen den selben Grenzwert.

2. ist richtig , da Konvergenz Beschränkheit impliziert.

Comments

danke für die antwort. ja ist logisch

weiß sonst noch jemand wie man 1 richtig aufschrieben kann?

LG

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http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Teilfolge

"Divergiert eine Teilfolge divergiert auch die ganze Folge". 

Dort findest du einen Beweis dazu. Die Aussage kann man umdrehen, indem man nun sagt, da die Folge konvergent ist, darf es somit keine divergente Teilfolge geben. Folgen können nur  konvergent oder divergent sein. Da Divergenz ausgeschlossen ist, bleibt nurnoch Konvergenz über.