Ist diese Menge ein Unterraum des angegebenen Vektorraums?

Question

Aufgabe:

\( \{f \in \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}): f(x)=f(-x) \) für alle \( x \in \mathbb{R}\} \subseteq \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \)

Problem/Ansatz:

Danke im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Wir prüfen, ob Menge \(U\) zusammen mit den Operationen \(\cdot\) und \(+\) aus \(\operatorname{Abb}(\mathbb R;\mathbb R)\) einen Untervektorraum von \(\operatorname{Abb}(\mathbb R;\mathbb R)\) bildet.

1) Die Null muss in \(U\) enthalten sein.

Die Abbildung \(f_0(x)\coloneqq 0\) erfüllt die Bedingung \(f(x)=f(-x)\quad\checkmark\)

2) Abgeschlossenheit bezüglich der Addition.

Seien \(f,g\in U\) dann gilt:$$(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x)\quad\checkmark$$

3) Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation.

Sei \(a\in\mathbb R\) und \(f\in U\), dann gilt:$$(a\cdot f)(-x)=a\cdot f(-x)=a\cdot f(x)=(a\cdot f)(x)\quad\checkmark$$

Alle 3 Bedingungen an einen Unterraum sind erfüllt.

Answer 2

\( \{f \in \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}): f(x)=f(-x) \) für alle \( x \in \mathbb{R}\}  ist die Menge aller symmetrischen Funktionren \subseteq \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \) ist die Menge aller Abbildungen von ℝ in ℝ. Wo sind da Vektorräume?

Comments

Wo sind da Vektorräume?

Wo nicht?