Grenzwert: unendlich - unendlich im Nenner, aber eigentliches Ergebnis 0,5 / Selbst gelöst, kann gelöscht werden, sry

Question

Frage kann gelöscht werden, sry :(

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Warum gilt das(?):

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n(e^{\frac{2}{n}} - 1)}=0,5$$

Ich habe folgende Rechnung durchgeführt:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n(e^{\frac{2}{n}} - 1)}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty} ne^{\frac{2}{n}} - \lim\limits_{n\to\infty} n}=\frac{1}{\infty -\infty}$$

Denn:

$$\lim\limits_{n\to\infty} ne^{\frac{2}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty} n\cdot \lim\limits_{n\to\infty} e^{\frac{2}{n}} =\infty\cdot 1=\infty$$

Edit:

Das ist falsch, da ich den Grenzwert beim Produkt nur für konvergente Folgen reinziehen kann. Habe es gerade beim Posten gemerkt (facepalm). Dann muss ich die Reihenentwicklung von der Exponentialfunktion nutzen, mit x=2/n.

Comments

Na, wenn die Frage bleibt, hier die Lösung des Nenners für einen potentiell Interessierten:

$$ \lim\limits_{n\to\infty} (ne^{\frac{2}{n}}-n)=\lim\limits_{n\to\infty} (n\cdot \sum \limits_{k=0}^{n}\frac{(\frac{2}{n})^k}{k!}-n)\\ =\lim\limits_{n\to\infty} (n\cdot(1+\frac{2}{n}+(\frac{2^2}{n^2})+...+(\frac{2^n}{n^n}))-n)\\ =\lim\limits_{n\to\infty} ((n+2+\frac{4}{n}+...)-n)=\lim\limits_{n\to\infty} 2=2 $$