Erste Ableitung einer Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie (…) die erste Ableitung ihrer Exponentialfunktion.

Exponentialfunktion: ƒ(x) = 3 • 2^x

Ich bräuchte die erste Ableitung dieser Funktion - mit Zwischenschritte.

Answer 1

Hallo,

Tipp: Basiswechsel

2^x=e^{a•x}

a musst du noch bestimmen.

:-)

Comments

Ich bräuchte den kompletten Lösungsweg, da ich mich noch nie mit Exponentialfunktionen beschäftigt habe. Ich brauche den Lösungsweg, damit ich in Zukunft weiß, wie ich solche Aufgaben lösen kann.

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Hallo,

weißt du denn, dass e^x abgeleitet wieder e^x ergibt, und kennst du die Kettenregel?

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Ich kenne die Kettenregel nicht.

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Die Kettenregel ist hier notwendig, um abzuleiten.

Answer 2

Benutze zur Hilfe und Selbstkontrolle https://www.ableitungsrechner.net/

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[3 \cdot 2^{x}\right] \)
\( =3 \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[2^{x}\right] \)
\( =3 \ln (2) \cdot 2^{x} \)

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort, aber ich habe bewusst die Frage auf dieser Plattform gestellt, weil ich die Zwischenschritte besser nachvollziehen möchte. Der online Rechner hilft mir nicht wirklich, da ich nicht weiß, was d/dx ist.

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Wenn die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion mit Basis a gesucht ist, geht man wie folgt vor.

f(x) = a^x

Schreibe a als e^{ln(a)}

f(x) = a^x = (e^{ln(a)})^x = e^{ln(a)·x}

Jetzt Ableiten der e-Funktion mit Kennenregel

f'(x) = ln(a)·e^{ln(a)·x}

Und jetzt schreiben wir e^{ln(a)} wieder als a

f'(x) = ln(a)·a^x

Ist das so klar?

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d/dx ist der Ableitungsoperator der besagt, dass der Term dahinter abgeleitet werden soll.

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Ich könnte das jetzt mit meiner Funktion nicht umsetzten.

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Ich könnte das jetzt mit meiner Funktion nicht umsetzten.

Hast du die Ableitung von a^x wie ich es oben vorgemacht habe verstanden?

Für den kostanten Faktor "3·"  gilt ja nur die Faktorregel, die besagt, dass konstante Faktoren in der Ableitung erhalten bleiben.

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Ich verstehe es leider nicht. Ich müsste es wirklich anhand eines Beispiels mit meiner oder einer ähnlichen Funktion sehen.

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$$f(x) = 3 \cdot 2^x ~~~ | ~ 2 = e^{ln(2)} \newline f(x) = 3 \cdot (e^{ln(2)})^x \newline f(x) = 3 \cdot e^{ln(2) \cdot x}  ~~~ | ~ \text{Ableitung mit Kettenregel} \newline f'(x) = 3 \cdot ln(2) \cdot e^{ln(2) \cdot x} \newline f'(x) = 3 \cdot ln(2) \cdot (e^{ln(2)})^x \newline f'(x) = 3 \cdot ln(2) \cdot 2^x$$

Answer 3

Es gilt:

f(x) = a^x

f '(x) = a^x* ln(a)

oder so:

f(x) = a^x = e^(lna^x) = e^(x*lna)

-> f '(x) = e^(x*lna) *lna = a^x*lna

(Kettenregel)

da gilt: f(x) = e^(g(x)) -> f '(x) = f(x)* g'(x)

Den Faktor 2 schleppt man mit, Faktorregel

Comments

Vielen Dank für die Antwort, aber ich verstehe es nicht.

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Was verstehst du nicht?

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Die Kettenregel und die ganzen enthaltenen Variablen wie a oder e. Ich weiß auch nicht, was lna(a) bedeuten soll. Ich wollte doch nur, dass jemand anhand meiner Funktion mir zeigt, wie das funktioniert.

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lna = ln(a) ist der Logarithmus von a zur Basis e (Eulersche Zahl)

ln(a) -> e^x= a

x ist die Zahl, mit der man e potenzieren muss um a zu erhalten