'Beweis' zu Teilmengen und Begründung Äquivalenzrelation oder Halbordnung

Question

Aufgabe:

Sei A eine Menge.
    (a) Zeigen Sie, dass für zwei Teilmengen M₁ ⊆ A und M₂ ⊆ A von A gilt:
                       M₁ ∩ M₂ = M₁ ⇔ M₁ ∪ M₂ = M₂ ⇔ M₁ ⊆ M₂.

(b) Sei R ⊆ P(A) × P(A) eine binäre Relation auf P(A) definiert durch
                       M₁ R M₂ ⇔ M₁ ∩ M₂ = M₁.
          Ist R eine Äquivalenzrelation? Ist R eine Halbordnung?

Problem/Ansatz:

Bei (a) ist es eigentlich recht offensichtlich, dass es gelten muss (vor allem bei Darstellung mittels Venn-Diagramm). Bloß ich tue mich etwas schwer das alles auch in einer formal korrekten Notation zu schreiben. Aus M₁ ∪ M₂ = M₂ und der Ausgangsvoraussetzung lässt sich ja eigentlich schon die gesuchte Beziehung M₁ ⊆ M₂ schließen.

Bei (b) liegt meine Vermutung bei einer Halbordnung, begründen kann ich das auch nicht wirklich.

Mir wäre es lieb, wenn ihr am besten euren Lösungsansatz vorstellt und ich eben mit euch in's Gespräch komme bei Verständnisproblemen oder derartigem.

Answer 1

zu a) Das musst du wohl unmittelbar über die Definitionen beweisen.

Also etwa     M1 ∩ M2 = M1 ⇔ M1 ∪ M2 = M2 in zwei Teilen:

  M1 ∩ M2 = M1 ==>  M1 ∪ M2 = M2

Seien also M1 und M2 Mengen mit   M1 ∩ M2 = M1. #

Dann musst du zeigen M1 ∪ M2 = M2.

So eine Mengengleichheit beweist man meistens auch wieder in 2 Schritten.

1. Sei x∈  M1 ∪ M2 . ==>   x∈  M1 oder x∈  M2

       Für jeden dieser beiden Fälle musst du zeigen x∈  M2

           Im 1. Fall ist  x∈  M1 , dann gilt ja wegen #

                 auch x∈ M1 ∩ M2, und somit

                      x∈  M1 und x∈  M2

                insbesondere also x∈  M2.

          Im 2. Fall ist x∈  M2, also alles klar.

2. Sei x∈ M2 .  Dann musst du zeigen  x∈  M1 ∪ M2

        Dem ist so, denn  x∈  M1 oder x∈  M2

           ist wegen x∈ M2  ja erfüllt.

        Damit ist M1 ∪ M2 = M2. gezeigt.

Dann umgekehrt:   M1 ∩ M2 = M1 <== M1 ∪ M2 = M2

Das geht entsprechend.

Comments

Das klingt für mich nachvollziehbar, danke nochmal! Hab das direkt umgesetzt. Allerdings ist für mich (b) noch ungewiss. Also wegen M₁ ⊆ M₂ ⊆ A ist es ja recht offensichtlich, dass es nicht mehr eine Äquivalenzrelation sein kann, da ¬∀M₁RM₂ ⇒ M₂RM₁, weil es ja nicht symmetrisch ist. Aber um eine Halbordnung vollständig nachzuweisen, muss ich ja noch zeigen, dass die binäre Relation reflexiv und transitiv ist. Wie mache ich das?

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reflexiv heißt doch nur:

Für jedes M aus P(A) gilt M R M also M ∩ M = M

Denn x∈M ∩ M <=> x∈M und   x∈M

<=>    x∈M

Und wegen a) hast du ja auch M1 R M2 ⇔ M1 ⊆ M2

Und dann heißt ja transitiv nur

M1 ⊆ M2 und M2 ⊆ M3 ==>   M1 ⊆ M3

Das bekommst du auch hin.

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Danke nochmal :)!