n^2(n+1)^2 / 4 für alle n aus N, vollständige Induktion

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 3:
(i) Beweisen Sie die folgenden Aussagen mittels vollständiger Induktion:
(a) Für jedes \( n \in \mathbb{N} \) gilt \( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} \).

Comments

Diese Frage gab es schon mehrfach im Forum, z.B. dort: Summe der ersten n Kubikzahlen.

Answer 1

Hast du den Induktionsanfang gemacht?

Anschließend musst du zeigen, dass \( \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} +(n+1)^3= \frac{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4} \) gilt.

Comments

Ja ich komme beim Induktionschritt nur bis zur Erweiterung von (n+1)³ mit 4 und dann komm ich nur noch durcheinander.

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Da sowohl dein Startterm als auch dein Zielterm auf der rechten Seite den Teil \( \frac{(n+1)^{2}}{4} \) enthält, wäre auf der linken Seite das Ausklammern von \( \frac{(n+1)^{2}}{4} \) wohl mehr als sinnvoll.