soll man am Ende addieren oder subtrahieren?

Question

Aufgabe:

Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert µ und
Standardabweichung σ. Berechnen:c) P(X < −5 ∨ X > 1) für µ = −2, σ = 2.

(∨  bedeutet ’oder’)

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

(c) \( P(x<-5 \cup x>1) \) für \( \mu=-2 \quad \sigma=2 \)
\( x_{1}=-5 \quad P(x<-5)=z=\left(\frac{x_{1}-\mu}{\sigma}\right)=\left(\frac{-5-(-2)}{2}\right)=-1,5 \)
\( \Phi(-1,5)=1-\Phi(1,5)=1-0,9332=0,0668 \)
\( x_{2}=1 \quad P(x>1)=z=\left(\frac{x_{1}-\mu}{\sigma}\right)=\left(\frac{1-(-2)}{2}\right)=1,5 \)
cp \( (1,5)=0,99332 \)

Answer 1

Aloha :)

Du bist ein wenig zu forsch an die Aufgabe herangegangen. Die Standardnormalverteilung \(\phi(z)\) liefert die Wahrscheinlichkeit \(P(Z<z)\), dass eine Zufallsvariable \(Z\) einen Wert kleiner (oder gleich) \(z\) hat:$$\phantom=P(X<-5\lor X>1)=P(X<-5)+\pink{P(X>1)}=P(X<-5)+\pink{1-P(X<1)}$$

Jetzt normalisieren wir mit \(\mu=-2\) und \(\sigma=2\):$$=\phi\left(\frac{-5-(-2)}{2}\right)+1-\phi\left(\frac{1-(-2)}{2}\right)=\phi(-1,5)+1-\phi(1,5)$$

Wegen der Symmetrie \(\green{\phi(z)+\phi(-z)=1}\) ist \(\green{\phi(-1,5)=1-\phi(1,5)}\) und wir erhalten:$$=2\cdot\phi(-1,5)=2\cdot0,066807=0,133614\approx13,36\%$$