zu a):
Du benötigst eine Funktion 3. Grades, d.h. eine Funktion nach folgendem Schema:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, zusätzlich als Hilfe die Ableitung: f'(x)=3ax2 + 2bx + c
Du hast gegeben:
f(0)=6 durch den Punkt (0,6); f(4)=0 durch den Punkt (4,0); f(2)=3 durch den Punkt (2,3); f'(2)=0 dadurch dass der Punkt (2,3) ein Sattelpunkt ist.
Du musst mit diesen Punkten wie folgt ein Gleichungssystem erstellen und dann lösen, um die Parameter a,b,c,d zu erhalten.
f(0)=a*0+b*0+c*0+d=d=6, also d=6
f(4)= a*43 + b*42 + c*4 + 6 = 64a + 16b + 4c + 6 = 0 im folgenden Gleichung I
f(2)= a*23 + b*22 + c*2 + 6 = 8a + 4b + 2c + 6= 3 im folgenden Gleichung II
f'(2) = 3a*22 + 2b*2 + c = 12a + 4b + c = 0 im folgenden Gleichung III
Nun löst du das Gleichungssystem z.B. mithilfe des Additions- bzw. Subtraktionsverfahren:
IV=I - 2* II: 64a - 2*8a + 16b - 2*4b + 4c - 2*2c = -6 - 2*(-3)
also ist IV: 48a + 8b = 0
V=2* III - II: 2*12a - 8a + 2*4b - 4b + 2*c - 2c = 2*0 - (-3)
also ist V: 16a + 4b= 3
IV-2*V: 48a - 2*16a + 8b - 2*4b = 0 - 2*3
also: 16a = -6 |:6
a= - \( \frac{3}{8} \)
nun setzt man a in IV ein:
48 * (-3/8) +8b = 0
-18 + 8b = 0 |+18 |:8
b = \( \frac{9}{4} \)
nun setzt man a,b in I ein und erhält:
64 * (-3/8) + 16 * (9/4) + 4c + 6 = 0
-24 + 36 + 4c + 6 = 0 |-18 |:4
c = - \( \frac{9}{2} \)
So hat man nun a,b,c und d und kann sie in die obige Funktion einsetzen, sodass man folgende Funktion als Ergebnis erhält:
f(x) = - \( \frac{3}{8} \) x3 + \( \frac{9}{4} \) x2 - \( \frac{9}{2} \) x + 6
zu b):
Hier benötigst du das Integral von 0 bis 4 für die obige Funktion.
D.h.: \( \int\limits_{0}^{4} \) -\( \frac{3}{8} \) \( x^{3} \) + \( \frac{9}{4} \)\( x^{2} \) -\( \frac{9}{2} \) + 6 dx = [-\( \frac{3}{32} \)\( x^{4} \) + \( \frac{3}{4} \)\( x^{3} \) - \( \frac{9}{4} \)\( x^{2} \) + 6x ]04
=( -\( \frac{3}{32} \) * \( 4^{4} \) + \( \frac{3}{4} \)\( 4^{3} \) - \( \frac{9}{4} \)\( 4^{2} \) + 6*4) - (-\( \frac{3}{32} \)\( 0^{4} \) + \( \frac{3}{4} \)\( 0^{3} \) - \( \frac{9}{4} \)\( 0^{2} \) + 6*0)
= -\( \frac{3}{32} \) * 256 + \( \frac{3}{4} \) * 64 - \( \frac{9}{4} \) * 16 + 6*4 - 0
= -24 + 48 - 36 + 24
= 12 \( LE^{2} \)
= 12 \( km^{2} \)