Berechnen Sie die Grundstilicksgröße.

Question

wie löse ich diese Aufgabe

Text erkannt:

2. Flächen unter Funktionsgraphen
18. Grundstücksfläche
Ein Grundstück wird durch zwei Straßen und einen Fluss begrenzt.
a) Modellieren Sie den Fluss durch ein Polynom 3. Grades. Verwenden Sie die gesicherten Punkte aus der Planskizze. Im Punkt \( \mathrm{P}(2 \mid 3)\)  verläuft der Fluss exakt von Westen nach Osten.
b) Berechnen Sie die Grundstücksgröße. \( 1 \mathrm{LE}=1 \mathrm{~km} \)

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... falls Du nochmal so eine Aufgabe bekommst: Wenn bei einem Polynom 3.Grades der Wendepunkt \((x_w,\,y_w)\) gegeben ist, kannst Du immer schreiben:$$f(x)= a(x-x_w)^3 + c(x-x_w) + y_w$$Und da \(c\) die Steigung an der Wendestelle angibt, die hier \(=0\) ist, verbleibt mit \(W=P=(2|\,3)\)$$f(x)=a(x-2)^3+3$$und da \(f(4)=0\) folgt für \(a\):$$f(4)=a(4-2)^3+3 = 0 \\ \implies 8a + 3 = 0 \implies a = -\frac38$$Somit ist $$f(x)= -\frac38(x-2)^2+3 \\ \phantom{f(x)}= -\frac38x^3 +\frac94x^2 - \frac92x +6$$und die Grundstücksgröße \(F\) ...

https://www.desmos.com/calculator/efoxg2ftqj

... ist leicht zu bestimmen, da das Stück oben links genau so groß ist, wie das gelbe Stück rechts:$$F = 4\cdot 3 = 12$$man braucht also weder ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten noch ein Integral zu lösen.

Gruß Werner

Answer 1

Du brauchst 4 Gleichungen für die 4 Paramter eines allg. Polynoms 4'ter Ordnung.

Du Hast Die Punkte \( (4 , 0 ) \), \((0,6) \) und den Punkt \( (2,3) \) hier muss die erste und zweite Ableitung Null werden..

Und jetzt alles ausrechnen.

Comments

Ich brauch die Aufgabe bis morgen, könnten Sie mir die Aufgabe ausrechnen, da ich nicht vorankommen. Bin in Mathe echt ne null.

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Es geht um ein Polynom 3. Ordnung und nicht 4. Ordnung. Sonst bräuchte man 5 Parameter.

Answer 2

zu a):

Du benötigst eine Funktion 3. Grades, d.h. eine Funktion nach folgendem Schema:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d, zusätzlich als Hilfe die Ableitung: f'(x)=3ax² + 2bx + c

Du hast gegeben:

f(0)=6 durch den Punkt (0,6); f(4)=0 durch den Punkt (4,0); f(2)=3 durch den Punkt (2,3); f'(2)=0 dadurch dass der Punkt (2,3) ein Sattelpunkt ist.

Du musst mit diesen Punkten wie folgt ein Gleichungssystem erstellen und dann lösen, um die Parameter a,b,c,d zu erhalten.

f(0)=a*0+b*0+c*0+d=d=6, also d=6

f(4)= a*4³ + b*4² + c*4 + 6 = 64a + 16b + 4c + 6 = 0         im folgenden Gleichung I

f(2)= a*2³ + b*2² + c*2 + 6 = 8a + 4b + 2c + 6= 3        im folgenden Gleichung II

f'(2) = 3a*2² + 2b*2 + c = 12a + 4b + c = 0                    im folgenden Gleichung III

Nun löst du das Gleichungssystem z.B. mithilfe des Additions- bzw. Subtraktionsverfahren:
IV=I - 2* II: 64a - 2*8a + 16b - 2*4b + 4c - 2*2c = -6 - 2*(-3)

also ist IV: 48a + 8b = 0

V=2* III - II: 2*12a - 8a + 2*4b - 4b + 2*c - 2c = 2*0 - (-3)

also ist V: 16a + 4b= 3

IV-2*V: 48a - 2*16a + 8b - 2*4b = 0 - 2*3

also: 16a = -6      |:6

         a= - \( \frac{3}{8} \)

nun setzt man a in IV ein:

48 * (-3/8) +8b = 0

      -18 + 8b = 0          |+18   |:8

                  b = \( \frac{9}{4} \)

nun setzt man a,b in I ein und erhält:

64 * (-3/8) + 16 * (9/4) + 4c + 6 = 0

                   -24 + 36 + 4c + 6 = 0         |-18      |:4

                                              c = - \( \frac{9}{2} \)

So hat man nun a,b,c und d und kann sie in die obige Funktion einsetzen, sodass man folgende Funktion als Ergebnis erhält:

f(x) = - \( \frac{3}{8} \) x³ + \( \frac{9}{4} \) x² - \( \frac{9}{2} \) x + 6

zu b):

Hier benötigst du das Integral von 0 bis 4 für die obige Funktion.

D.h.: \( \int\limits_{0}^{4} \) -\( \frac{3}{8} \) \( x^{3} \) + \( \frac{9}{4} \)\( x^{2} \) -\( \frac{9}{2} \) + 6 dx = [-\( \frac{3}{32} \)\( x^{4} \) + \( \frac{3}{4} \)\( x^{3} \) - \( \frac{9}{4} \)\( x^{2} \) + 6x ]₀⁴

=( -\( \frac{3}{32} \) * \( 4^{4} \) + \( \frac{3}{4} \)\( 4^{3} \) - \( \frac{9}{4} \)\( 4^{2} \) + 6*4) - (-\( \frac{3}{32} \)\( 0^{4} \) + \( \frac{3}{4} \)\( 0^{3} \) - \( \frac{9}{4} \)\( 0^{2} \) + 6*0)

=  -\( \frac{3}{32} \) * 256 +  \( \frac{3}{4} \) * 64 - \( \frac{9}{4} \) * 16 + 6*4 - 0

= -24 + 48 - 36 + 24

= 12 \( LE^{2} \)

= 12 \( km^{2} \)

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Vieeeeln Dnak. Jetzt habe ich die Aufgabe verstanden.