Aufgabe zur Linearen Algebra (Quotientenmenge, Äquivalenzrelation)

Question

Aufgabe:

1) Betrachten wir auf ℂ die Aquivalenzrelation z_1 ∼ z_2 : |z_1| = |z_2|. Bestimmen Sie

die Quotientenmenge ℂ/∼ und schreiben Sie ein vollstandiges und unabhangiges
reprasentatives System.

2) Seien M1, . . . ,Mn nichtleere Mengen und ρ1 Aquivalenzrelationen auf M1, ρ2
Äquivalenzrelationen auf M2, . . . , ρn Aquivalenzrelationen auf Mn. Sei M =
M1, . . . ,×Mn und die Relation ρ auf M definiert durch:
(x1, . . . , xn) ρ (y1, . . . , yn), (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) ∈ M
genau dann wenn xiρyi fur jedes i∈{1, . . . , n}. Zeigen Sie, dass ρ eine Aquivalenzrelation
auf M ist und dass eine Bijektion zwichen M/ρ und M1/ρ1 ×...×
Mn/ρn existiert.
Problem/Ansatz:

Ich habe dieses Thema verpasst und wäre für jede Hilfe dankbar!!!

Answer 1

Eine Äquivalenzrelation \(\sim\) auf einer Menge \(M\) ist eine reflexive, symmetrische und transitive Teilmenge von \(M\times M\).

Die Quotientenmenge \(M/\sim\) besteht aus Teilmengen von \(M\), so dass für jedes \(T\in M/\sim\) gilt:

        \(m_1,m_2 \in T \iff m_1\sim m_2\).

Die Quotientenmenge \(M/\sim\) ist eine Partition von \(M\). Das heißt zu jedem \(m\in M\) gibt es genau ein \(T\in M/\sim\) mit \(m\in T\). Dieses \(m\) wird dann Representant von \(T\) genannt.