Induktion mit Ungleichung und Binominalkoeffizenten bzw. Fakultät

Question

Aufgabe:

\( \frac{(n+1) !}{2^{n}}>\left(\begin{array}{c}n+1 \\ n\end{array}\right) \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geqq 4 \).

Problem/Ansatz:

ist das der Ansatz? und muss ich jetzt nur umformen?

\( \frac{(n+1+1) !}{2^{n+1}}>\left(\begin{array}{c}n+1+1 \\ n+1\end{array}\right) \)

Answer 1

(n+1) über n =  ((n+1)*n!))/((n!*(n+1-n)!) = n+1

(n+1)!/2^n =  (n+1)*n!/2^n

Comments

danke!

ja so ist es leichter.

das heißt, ich muss nicht überall n mit n+1 ersetzten, um zu zeigen, dass es für alle n gilt, sondern einfach die Aussage so umformen, dass die Aussage wahr ist.

ich bin zu dem Ergebnis gekommen: n! >2^n  die Aussage ist wahr!

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ja, n! wächst viel schneller als 2^n.

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+n%21%2C+2%5En+from+0+to+10

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ich bin zu dem Ergebnis gekommen: n! >2^n die Aussage ist wahr!

Das müsste wohl auch kurz begründet werden, insbesondere weil das ja ab n=4 gebraucht wird. Da ist der Verweis auf das Wachstum nicht genug