binäre Operationen, Mengenlehre

Question

Aufgabe:

Sei M eine endliche Menge mit |M| = m ≥ 2. Wir wollen einen Blick auf die Menge BM der binären Operationen auf M werfen, also B_M = M^M×M.
a) Geben Sie die Zahl der binären Operationen auf M an, also |BM|. Eine Begründung ist nicht notwendig.
b) Geben Sie die Zahl der kommutativen Operationen auf M an, also |{ f : M × M → M | f ist kommutativ.}| .

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen

Answer 1

|B_M| = m^(m^2)  . Die Anzahl der Abbildungen von einer Menge in eine andere ist doch

immer:  Anzahl der Elemente in der Zielmenge ^{Anzahl der Elemente in der Def.menge}

Bei den kommutativen brauchst du ja (a,b) und (b,a) nicht zu unterscheiden, da sie beide

das gleiche Bild haben. In der Def.menge sind also bei der Sichtweise nur

(m^2) - (m-1)^2 / 2      Elemente, also ist das m ^{m^2 - (m-1)^2 / 2}  .

Comments

Vielen Dank

Sorry habe es übersehen

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Steht doch da |BM| = m^{(m^2)}    

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In der Def.menge sind also bei der Sichtweise nur  (m²) - (m-1)² / 2   Elemente

Hättest du doch wenigstens einen Test auf Ganzzahligkeit gemacht.

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Oha, das muss wohl   (m²) - (m-1)m / 2 =( m^2 - m)/2

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(m²) - (m-1)m / 2 =( m² - m)/2 

Jetzt noch ein bisschen Feinkorrektur und du hast es tatsächlich

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Sie können bitte genauer erklären, woher diese Behauptung kommt?

(m²) - (m-1)m / 2

Und noch eine kurze Frage, warum ergibt sich das Ergebnis (m² - m)/2

(2m²-m²+m)/2 = (m² + m)/2

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(m²) - (m-1)m / 2

Die vollständige Tabelle würde ja zu jedem Paar aus MxM

ein Ergebnis festlegen. Die Tabelle hätte dann m^2 Plätze.

Alles unterhalb der Diagonalen fällt bei "kommutativ" weg,

das ist ja oben schon bestimmt.

Und wenn man das ohne VZ-Fehler (Den hatte ich.)

ausrechnet gibt es in der Tat (m² + m)/2 .

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Vielen herzlichen Dank!!!