Berechne die (x²-1)te Wurzel aus x^{x-1} dividiert durch die (x-1)te Wurzel aus a^x

Question

Aufgabe:

$$ \dfrac{ \sqrt[(x^2-1)]{a^{x-1}}}{\sqrt[(x-1)]{a^{x}}} = $$

Könnt ihr mir den Fehler erklären, den ich bei dieser Aufgabe gemacht habe?

Mein Lösungsversuch: \( \sqrt[x^2+1]{ a^{-x^2 - 1} } \)

Was mich hierbei verwirrt ist, dass in den Lösungen das Ergebnis \( \sqrt[1-x^2]{ a^{ x^2+1 } } \).

Answer 1

$$\Large{\frac{ \sqrt[(x^2-1)]{a^{x-1}}}{\sqrt[(x-1)]{a^{x}}}=\frac{a^\frac{x-1}{x^2-1}}{a^\frac{x}{x-1}}=\frac{a^\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}}{a^\frac{x}{x-1}}=\frac{a^\frac{1}{(x+1)}}{a^\frac{x}{x-1}}=a^{\frac{1}{(x+1)}} \cdot a^{-\frac{x}{x-1}}}=a^{\frac{1}{(x+1)}-\frac{x}{x-1}}=a^{\frac{x-1-x(x+1)}{x^2-1}}=a^{\frac{-1-x^2}{x^2-1}}=a^{\frac{1+x^2}{1-x^2}} =\sqrt[1-x^2]{a^{1+x^2}}$$

Answer 2

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Answer 3

Ich rechne das mal noch um auf gebrochene Exponenten. Die Antwort von Georgborn sieht aber sehr gut aus, wenn du mit Wurzelgesetzen rechnen sollst.

^x*x-1√a^x-1 /  ^x-1√a^x               | gebrochene Exponenten

= a ^ ((x-1)/(x^2-1) * a^ (-x /(x-1))         |Brüche im Exponenten addieren

= a ^ ((x-1)/(x^2-1) * a^ (( -x(x+1)) /((x-1)(x+1)) )

= a ^ ((x-1)/(x^2-1) * a^ (( -x^2-x )) /((x-1)(x+1)) )  

= a^ ((x-1 - x^2 -x )/(x^2-1))      |   Zähler vereinfachen

= a^ ((-1 - x^2 )/(x^2-1))  

=a^ ((1+x^2)/(1-x^2))

$$ =\LARGE{{ \sqrt[(1-x^2)]{a^{1+x^2}}}} $$