Vermutlich für x,y ∈ℤ und n∈ℕ x ≡ y :⇐⇒ x − y ist ein Vielfaches von n
1) Gibt es genau die n paarweise verschiedenen Äquivalenzklassen
0,1,...,n−1
Bew.: Seien also x∈ℤ und n∈ℕ . Dann ist erst mal zu zeigen, dass es in
einer der Klassen 0,1,...,n−1 ist.
Wegen "Division mit Rest" gibt es q∈ℤ und r∈ℕ mit 0≤r<n
x=q*n + r
==> x-r ist Vielfaches von n
==> x≡r
==> x∈ r .
Und r ist wegen 0≤r<n eine der Klassen 0,1,...,n−1 .
Und diese sind paarweise verschieden.
Denn seien a,b ∈ {0, 1, . . . , n − 1} und o.B.d.A b≥a
==> b-a ∈ {0, 1, . . . , n − 1}
==> a,b ∈ b−a
Also a und b beide in der gleichen Klasse.
==> a=b