x ≡ y Äquivalenzrelationen

Question

Aufgabe:

…

x ≡ y :⇐⇒ x − y ist ein Vielfaches von n

1) Gibt es genau die n paarweise verschiedenen Äquivalenzklassen 0, 1, . . . , n − 1

2) x̄ + ȳ := x + y über allem quer
und
x̄ · ȳ:= x · y über allem quer

3) ist die Menge der Äquivalenzklassen eine abelsche Gruppe
Problem/Ansatz:

Answer 1

Vermutlich für x,y ∈ℤ   und n∈ℕ  x ≡ y :⇐⇒ x − y ist ein Vielfaches von n

1) Gibt es genau die n paarweise verschiedenen Äquivalenzklassen

\(  \overline{0}, \overline{1} , . . . , \overline{n − 1 } \)

Bew.:  Seien also x∈ℤ und n∈ℕ . Dann ist erst mal zu zeigen, dass es in

einer der Klassen \(  \overline{0}, \overline{1} , . . . , \overline{n − 1 } \) ist.

Wegen "Division mit Rest" gibt es q∈ℤ und r∈ℕ mit 0≤r<n

                x=q*n + r

==>   x-r ist Vielfaches von n

==>    x≡r

==>   x∈  \(\overline{r} \)  .

Und  \(\overline{r} \)   ist wegen 0≤r<n eine der Klassen \(  \overline{0}, \overline{1} , . . . , \overline{n − 1 } \) .

Und diese sind paarweise verschieden.

Denn seien a,b ∈ {0, 1, . . . , n − 1} und o.B.d.A b≥a

==>   b-a ∈ {0, 1, . . . , n − 1}

==>  a,b ∈   \(  \overline{b-a} \)

Also a und b beide in der gleichen Klasse.

==>  \(  \overline{a} = \overline{b}  \)

Comments

Vielen Dank und wie zeige ich 2) bzw. 3)

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2 ist doch einfach nur eine Definition. Was sollte da zu zeigen sein ?

und bei 3 müsste man außer der Menge noch eine

Gruppenoperation haben.

Bezüglich + ist es dann eine und bzgl * nicht,

da z.B. bei n=6 die Klasse mit der 2 kein Inverses hat.

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Was sollte da zu zeigen sein ?

Die Wohldefiniertheit

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Bei 2) zeigen dass die Definition nicht von den Repräsentaten x quer und y quer abhängen