Berechne die marginale Wahrscheinlichkeitsdichte von und bestimme damit den Erwartungswert und die …

Question

Hallo, ich habe folgende Hausaufgabe bekommen. Allerdings blicke ich da nicht wirklich durch :(...

Sei M eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Weiter sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable, welche
bedingt auf M = m normalverteilt mit Erwartungswert m und Varianz 1 ist.

1. Gib die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte von M und X an.
2. Berechne die marginale Wahrscheinlichkeitsdichte von X und bestimme damit den Erwartungswert und die Standardabweichung von X .
3. Berechne die Wahrscheinlichkeitsdichte von M bedingt auf X = 1.

Mega lieb wär ein Lösungsweg, damit ich alles nachvollziehen kann.
Vielen Dank im voraus <3

Comments

Hey,

hätte mal ne Frage, wie du es am Ende gelöst hast. Magst du mir vielleicht mal ne E-Mail oder so schreiben? Nachrichtenfunktion gibts hier ja leider keine... Wär mir ne große Hilfe

Grüße

Niko

Answer 1

Hallo,

du hast eine stetige Zufallsvariable \(X\) mit \(X|M=m\sim \mathcal{N}(m,1)\). Die bedingte Verteilung kodiert sowohl die gemeinsame Verteilung, als auch die Randverteilung von \(M\). Der Ansatz ist: \(f(X|M=m)=\frac{f(x,y)}{f_{M}(m)}\), wobei \(f(X|M=m)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(x-m)}\). Weißt du vielleicht etwas über die Verteilung von \(M\) und ihre Dichte? Du hättest nämlich:$$f(x,m)=f(X|M=m)\cdot f_M(m)$$ Mir fehlen hier aber Informationen über \(M\), um diesen Ansatz durchzuführen.

Bei der b) dann auch \(f(x,m)=f(X=x|M=m)\cdot f_X(x)\) der Ansatz.

Das ist quasi die auf Dichten übertragene Multiplikationssatz.