Extremwertproblematik Randextrema Aufgabe

Question

Aufgabe:

Von einer wertvollen Glastischplatte mit den Abmessungen 64 cm x 144 cm ist eine Ecke abgestoßen (siehe Bild rechts). Die Bruchkante kann als parabelförmig mit der Gleichung y = -1/16x² + 64 modelliert werden wobei X und Y in Zentimeter angegeben werden. Aus dem Rest soll eine möglichst große rechteckige Achsen parallele Platte herausgeschnitten werden ermitteln Sie die Abmessungen dieser rechteckigen Platte.

Problem/Ansatz:

Ich weiß ehrlich überhaupt nicht was ich machen soll.

Text erkannt:

ein globales Maximum.
s größte Volumen, es beträgt ca. \( 592,6 \mathrm{~cm}^{3} \).
\( \mathrm{t} \) dann die Seitenlänge \( \mathrm{a}=\frac{40}{3} \mathrm{~cm}=13 \frac{1}{3} \mathrm{~cm} \).

Answer 1

Hallo,

den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnest du mit \(A=a\cdot b\).

Hier ist a = 64 - x und b = 144 - f(x)

Damit lautet die Zielfunktion \(A=(64-x)(144-f(x))\)

Die Nebenbedingung ist \(f(x)=-\frac{1}{16}x^2+64\)

Also hast du \(A=(64-x)(144-(-\frac{1}{16}x^2+64))\)

Multipliziere die Klammern aus, bilde die 1. Ableitung, setze sie = 0, prüfe, ob es sich bei deinen Ergebnissen um ein Minimum oder Maximum handelt und melde dich, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Das Endergebnis für A enthält 2 Druckfehler

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Danke, habe ich korrigiert.

Answer 2

Schau dir die Zeichnung an.

Das Reststück hat die Breite (64-x) und die Höhe (144-y).

Das y ist der Funktionswert der Parabel an der Stelle x (also -1/16x² + 64).

Verwende diese Breite (64-x) und diese Höhe (144- (-1/16x² + 64)), um einen Term für den Flächeninhalt des Rechtecks aufzustellen.

Um die Extremstelle dieses Terms zu finden, bilde die Ableitung davon und setze diese gleich Null.

Falls es keine Extremstelle im Intervall zwischen x=0 und der Nullstelle von f(x) gibt, musst du noch die Flächeninhalte berechnen, die bei der Wahl von x=0 bzw. bei der Wahl von x=(Nullstelle) entstehen.

Comments

Falls es keine Extremstelle ...

Das reicht nicht, eine entsprechende Untersuchung ist auf jeden Fall erforderlich.