Aufgabe:
a) Berechnen Sie \(\int\limits_{\infty}^{\infty} \delta(a* x-b)f(x) dx \) , wobei man zuerst die Koordinatentrafo. \( x^{\prime}=a x-b \) durchführen sollb) Sei \( g(x) \) eine glatte Funktion mit einer Nullstelle bei \( x 0 \) sowie \( g_0 \) ungleich 0.
\( \delta(g(x))=\frac{\delta\left(x-x_{0}\right)}{\mid g^{\prime}\left(x_{0} \mid\right.} \) und verallgemeinern sie das Ergebnis für den Fall, dass \( g(x) \) mehrere Nullstellen hat.c) Die Dirac-Delta-Distrib. ist definiert als:
\( \delta^{(3)}\left(x_{i}\right)=\delta\left(x_{1}\right) \delta\left(x_{2}\right) \delta\left(x_{3}\right)\)(1) Berechnen sie:\(\int \limits_{-\infty}^{\infty} \int \limits_{-\infty}^{\infty} \int \limits_{-\infty}^{\infty} \delta^{(3]}\left(x_{i}-y_{i}\right) f\left(y_{i}\right) d^{3} y\)(2) Sei \( A_{i}^{j} \) eine invertierbare Matrix. Berechen sie\(\int \limits_{-\infty}^{\infty} \int \limits_{-\infty}^{\infty} \int \limits_{-\infty}^{\infty} \delta^{(3]}\left(A_{i}^{j} x_{j}+b_{i}\right) f\left(x_{i}\right) d^{3} x\)und beachten sie die Jacobi-Determinante beimKoordinatenwechsel
Meine Ideen:Zu a): Hier habe ich das Integral so umgeformt:\(\int \limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x) f(a x-b) d x\)Da jetzt für die Delta funktion gilt, dass Stimmt das so?
Zu b):Hier bin ich tatsächlich was den Ansatz belangt überfragt bzw. wie ich das zeigen soll.
Zu c): (1) Hier hätte ich für\(\delta^{(3]}\left(x_{i}-y_{i}\right)=\delta\left(x_{1}-y_{1}\right) \delta\left(x_{2}-y_{2}\right) \delta\left(x_{3}-y_{3}\right)\)eingesetzt, dann wie in a) transformiert und integriert.
(2) Hier hätte ich wie in (1) berechnet, weiß allerdings nicht, wie die Jacobi-Determinante ins Spiel kommen soll.
Ich bedanke mich für jede Hilfestellung und hoffe, dass wir sie gemeinsam lösen können :D
