Auf Injektivität, Surjektivität, Bijektivität untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität,
Bijektivität und geben Sie gegebenenfalls eine Umkehrabbildung an:

a) f : ℕ → ℤ_k , n → (n + 5) mod k, wobei k ∈ ℕ beliebig.

b)  g : ℕ → ℕ, n 7→ 2n − 1.

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung, wie ich die Aufgabe lösen soll :(

Answer 1

g : ℕ → ℕ, n 7→ 2n − 1.

ist wohl g : ℕ → ℕ, n ↦ 2n − 1.

Für "injektiv" wäre zu zeigen  g(n)=g(m) ==>  n=m

Also los:  2n − 1 = 2m − 1  | +1

                   2n = 2m | :2

                     n=m . Also injektiv.

Für "surjektiv" wäre zu zeigen:

Sei y∈ℕ . Es gibt x∈ℕ mit g(x) = y , also

                   2x-1 = y

                          2x = y + 1

z.B. für y=4 geht das nicht, also nicht surjektiv.

f : ℕ → ℤ_k , n → (n + 5) mod k, wobei k ∈ ℕ beliebig.

injektiv Ansatz wie oben:   n + 5 ≡m+5 mod k

Wenn n=m+k ist, gilt das , aber n und m sind verschieden,

also nicht injektiv.

surjektiv klappt !