Trigonometrie: Berechnung fehlender Größen eines symmetrischen Drachens ABCD mit α = 39°.

Question

Bei einem symmetrischen Drachen ABCD ist α = 39°. Die Diagonale f ist 7cm lang und teilt die Diagonale e im Verhältnis 1 : 2. Berechne

a) die Länge der Diagonalen e und den Flächeninhalt A,

b) die fehlenden Winkelgrößen sowie die Seitenlängen a und b.                                    Vielleicht kann mir jemand bei der Rechnung behilflich sein?

Vielen Dank

Sophie 

Comments

Drachenvierecke sind doch immer symmetrisch (?).

Beginne mit dem Dreieck AMD. Da kannst du e/3 bestimmen.

Übrigens: Fläche F = e*f/2.

Answer 1

Hi Sophie,

konzentriere Dich zuerst auf das Dreieck AMD. Dabei ist links der halbe Winkel von α.

Damit kannst Du das Dreieck berechnen (f ist halbiert).

Es ergibt sich für e/3 = 3,5/tan(19,5) ≈ 9,88

Folglich ist e = 29,65

Der Flächeninhalt ergibt sich insgesamt zu A = 1/2*e*f = 103,78


b)

Da kommst Du nun alleine weiter oder?

Für a ists ja nur der Sinus bzw. der Cosinus und für b hast Du ja schon f und e, welche bekannt sind :).


Grüße

Answer 2

a)

( f / 2 ) / ( e / 3 ) = tan ( α / 2 )

<=> e / 3 = ( f / 2 ) / tan ( α / 2 )

<=> e = 3 * ( f / 2 ) / tan ( α / 2 )

Bekannte Werte einsetzen:

=> e = 3 * 3,5  / tan ( 39 / 2 ) = 29,65 cm

 

Flächeninhalt des Drachenvierecks:

A = e * f / 2

= 29,65 * 7 / 2 = 103,78 cm ²

 

b)

tan ( γ / 2 ) = ( f / 2 ) / ( 2 e / 3 ) = 3 f / ( 4 e )

<=> γ / 2 = arctan (  3 f / ( 4 e ) )

<=> γ = 2 * arctan (  3 f / ( 4 e ) )

Bekannte Werte einsetzen:

=> γ = 2 * arctan (  21 / ( 4 * 29,65 ) ) = 20 °

 

β = δ = ( 360 ° - 39 ° - 20 ° ) / 2 = 150,5 °

 

sin ( α / 2 ) = ( f / 2 ) / a

<=> a = ( f / 2 ) / sin ( α / 2 )

Bekannte Werte einsetzen:

=> a = 3,5 / sin ( 39 / 2 ) = 10,49 cm

 

sin ( γ / 2 ) = ( f / 2 ) / b

<=> b = ( f / 2 ) / sin ( γ / 2 )

Bekannte Werte einsetzen:

=> b = 3,5 / sin ( 10 ) = 20,16 cm