\( H_{1} H_{2}:=\left\{h_{1} \cdot h_{2} \mid h_{1} \in H_{1}, h_{2} \in H_{2}\right\} \)
für Untergruppe erst mal zeigen:
Abgeschlossenheit: Seien also x,y ∈\( H_{1} H_{2}\).
==> Es gibt a∈\( H_{1} \) und b∈\( H_{2}\) mit x=a·b
entsprechend y=c·d.
Da \( H_{1} \) und \( H_{2}\) Untergruppen sind, sind
a·c ∈\( H_{1} \) und b·d ∈\( H_{2} \)
und damit (a·c) · (b·d) ∈ \( H_{1} H_{2} \) .
Wegen assoziativ und komm. in G gilt
(a·c) · (b·d) = (a·b) · (c·d) = x·y , also
x·y ∈ \( H_{1} H_{2} \) , also \( H_{1} H_{2} \) abgeschl.
Dann zeige noch: \( H_{1} H_{2} \) besitzt ein neutr. El.
und zu jedem ist das Inverse drin und kommutativ gilt
ja eh, da in \( (G, e, \cdot) \) erfüllt.
